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Triangle isocèle et triangle équilatéral
Un triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles à la base égaux. Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles de 60° ; c’est un isocèle particulier.
Mis à jour le 3 min de lecture
Le triangle isocèle et le triangle équilatéral sont les deux triangles « symétriques » de la géométrie. Leur symétrie entraîne des égalités d’angles et des propriétés de droites remarquables très utiles dans les démonstrations. On les retrouve partout : pignons de maison, panneaux de signalisation, pavages, structures en treillis.
Le triangle isocèle
Propriétés
- Les deux angles à la base sont égaux.
- Réciproquement, un triangle qui a deux angles égaux est isocèle.
- Il possède un axe de symétrie : la médiatrice de la base, qui passe par le sommet principal.
- Sur cet axe, la hauteur, la médiane, la bissectrice issues du sommet principal et la médiatrice de la base sont confondues.
Calcul des angles
Si ABC est isocèle en A, avec un angle au sommet  :
B̂ = Ĉ = (180° − Â) / 2
et, inversement, Â = 180° − 2 × B̂.
Hauteur et aire
La hauteur issue du sommet principal coupe la base en son milieu. Avec des côtés égaux de longueur a et une base b, le théorème de Pythagore donne :
h = √(a² − (b/2)²) et A = b × h / 2
Le triangle équilatéral
Propriétés
- Trois angles de 60° (180° / 3).
- Trois axes de symétrie, une symétrie de rotation d’ordre 3 (rotation de 120°).
- Pour chaque sommet, hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice sont confondues.
- Le centre de gravité, l’orthocentre, le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit sont un seul et même point.
Formules pour un côté a
| Grandeur | Formule | Valeur approchée |
|---|---|---|
| Périmètre | P = 3a | |
| Hauteur | h = a√3 / 2 | ≈ 0,866 a |
| Aire | A = a²√3 / 4 | ≈ 0,433 a² |
| Rayon du cercle circonscrit | R = a√3 / 3 | ≈ 0,577 a |
| Rayon du cercle inscrit | r = a√3 / 6 | ≈ 0,289 a |
Le centre est situé aux deux tiers de chaque hauteur à partir du sommet : R = 2h/3 et r = h/3, donc R = 2r.
Construire ces triangles
Isocèle : tracer la base [BC], puis deux arcs de même rayon centrés en B et C ; leur intersection donne A. Le rayon doit être supérieur à la moitié de BC.
Équilatéral : tracer [BC], puis deux arcs de rayon BC centrés en B et en C. C’est la toute première proposition des Éléments d'Euclide.
Comparaison
| Isocèle | Équilatéral | |
|---|---|---|
| Côtés égaux | Au moins 2 | 3 |
| Angles égaux | Au moins 2 | 3 (60°) |
| Axes de symétrie | 1 (3 s’il est équilatéral) | 3 |
| Peut être rectangle | Oui (45°, 45°, 90°) | Non |
| Peut être obtusangle | Oui | Non |
Six triangles équilatéraux disposés autour d’un point forment un hexagone régulier, ce qui explique les alvéoles des ruches et les pavages hexagonaux (voir les polygones réguliers).
Questions fréquentes
Un triangle équilatéral est-il isocèle ?
Oui. Il a trois côtés égaux, donc a fortiori deux : il est isocèle en chacun de ses trois sommets.
Comment prouver qu’un triangle est isocèle ?
Il suffit de montrer que deux côtés sont égaux, ou que deux angles sont égaux. Les deux conditions sont équivalentes.
Quelle est l’aire d’un triangle équilatéral de côté 1 ?
√3 / 4, soit environ 0,433 unité d’aire.
Un triangle isocèle peut-il avoir un angle obtus ?
Oui, mais seulement au sommet principal. Les angles à la base sont égaux et leur somme est inférieure à 180°, donc chacun est forcément aigu.