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Le trapèze
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles, appelés grande base B et petite base b. Son aire vaut (B + b) × h / 2, où h est la distance entre les bases.
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Le trapèze est le quadrilatère le moins contraint après le quadrilatère quelconque : une seule paire de côtés parallèles suffit. On le rencontre dans les coupes de digues et de fossés, les jupes, les toits à quatre pans, les sacs ou les profils de routes. Sa formule d’aire est l’une des plus utiles en pratique, car elle s’applique aussi au calcul approché de surfaces irrégulières.
Les types de trapèzes
| Type | Particularité | Propriétés |
|---|---|---|
| Quelconque | Côtés latéraux différents, aucun angle droit | Angles adjacents à un côté latéral supplémentaires |
| Rectangle | Un côté latéral perpendiculaire aux bases | Deux angles droits |
| Isocèle | Côtés latéraux de même longueur | Angles à la base égaux, diagonales égales, un axe de symétrie |
Dans tout trapèze, deux angles consécutifs le long d’un côté latéral sont supplémentaires (somme 180°), car ils sont formés par deux parallèles et une sécante.
Le trapèze isocèle
Il possède un axe de symétrie : la médiatrice commune des deux bases. Ses diagonales ont la même longueur, ses angles à chaque base sont égaux, et il est toujours inscriptible dans un cercle.
Les formules
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Aire | A = (B + b) × h / 2 |
| Périmètre | P = B + b + c + d (somme des 4 côtés) |
| Base moyenne (segment des milieux des côtés latéraux) | m = (B + b) / 2 |
| Aire avec la base moyenne | A = m × h |
Pourquoi cette formule ? Deux trapèzes identiques, l’un retourné, accolés par un côté latéral, forment un parallélogramme de base B + b et de hauteur h. Le trapèze en est la moitié. On peut aussi le découper en deux triangles par une diagonale : B × h / 2 + b × h / 2.
Calculer les côtés latéraux
Dans un trapèze isocèle, les deux côtés latéraux débordent chacun de (B − b) / 2 par rapport à la petite base. Le théorème de Pythagore donne :
c = √(h² + ((B − b)/2)²)
Trapèze et Thalès
Les diagonales d’un trapèze se coupent en un point qui les divise dans le rapport des bases : si O est leur intersection, OA / OC = OB / OD = B / b. C’est une configuration « papillon » du théorème de Thalès. De même, en prolongeant les côtés latéraux d’un trapèze quelconque, on obtient un triangle dont le trapèze est le « tronc ».
La méthode des trapèzes
Pour estimer l’aire sous une courbe, on la découpe en bandes verticales assimilées à des trapèzes. C’est la méthode des trapèzes, utilisée en calcul numérique pour approcher une intégrale, et par les géomètres pour mesurer une parcelle aux bords irréguliers.
Définition : le parallélogramme est-il un trapèze ?
La définition la plus répandue en France est « au moins deux côtés parallèles » : selon elle, un parallélogramme est un trapèze particulier (dont les deux paires de côtés sont parallèles). Certains manuels utilisent la définition « exactement deux côtés parallèles », qui exclut le parallélogramme. La formule d’aire reste valable dans les deux cas : avec B = b, on retrouve b × h. Voir la classification des quadrilatères.
Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un trapèze ?
On additionne les deux bases, on multiplie par la hauteur et on divise par 2 : (B + b) × h / 2.
Quelle est la différence entre un trapèze et un parallélogramme ?
Le trapèze a une paire de côtés parallèles ; le parallélogramme en a deux. Selon la définition usuelle, le parallélogramme est un trapèze particulier.
Un trapèze peut-il avoir un angle droit ?
Oui : le trapèze rectangle en a même deux, adjacents au côté latéral perpendiculaire aux bases.
Comment trouver la hauteur d’un trapèze à partir de l’aire ?
h = 2 × A / (B + b). Pour une aire de 30 cm² et des bases de 7 et 5 cm : h = 60 / 12 = 5 cm.