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La division posée
Pour poser une division, on cherche combien de fois le diviseur tient dans les premiers chiffres du dividende, on soustrait, on abaisse le chiffre suivant et on recommence.
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La division posée est la technique opératoire la plus longue de l’école primaire : elle mobilise les tables de multiplication, la soustraction et l’estimation. Elle est construite au CM1-CM2 pour les entiers, puis prolongée en 6e aux quotients décimaux. Pour la théorie (existence et unicité du quotient et du reste), voir la division euclidienne.
La méthode pas à pas
- Écrire le dividende à gauche, le diviseur à droite sous la potence.
- Prendre les premiers chiffres du dividende formant un nombre au moins égal au diviseur.
- Chercher combien de fois le diviseur y tient (table de multiplication). Écrire ce chiffre au quotient.
- Multiplier ce chiffre par le diviseur et soustraire. Le reste partiel doit être plus petit que le diviseur.
- Abaisser le chiffre suivant du dividende à côté du reste partiel.
- Recommencer les étapes 3 à 5 jusqu’au dernier chiffre.
- Vérifier :
diviseur × quotient + reste = dividende.
Astuce : avant de commencer, compter le nombre de chiffres du quotient. Dans 875 ÷ 7, on commence par 8 centaines : le quotient aura 3 chiffres (centaines, dizaines, unités).
Exemple : 875 ÷ 7
| Étape | Calcul | Chiffre au quotient | Reste partiel |
|---|---|---|---|
| 8 centaines | 7 × 1 = 7, 8 − 7 = 1 | 1 | 1 |
| On abaisse 7 → 17 | 7 × 2 = 14, 17 − 14 = 3 | 2 | 3 |
| On abaisse 5 → 35 | 7 × 5 = 35, 35 − 35 = 0 | 5 | 0 |
Quotient 125, reste 0. Vérification : 7 × 125 = 875.
Avec un reste : 1 000 ÷ 7
10 ÷ 7 = 1 reste 3 ; on abaisse 0 → 30 ÷ 7 = 4 reste 2 ; on abaisse 0 → 20 ÷ 7 = 2 reste 6. Quotient 142, reste 6. Vérification : 7 × 142 + 6 = 994 + 6 = 1 000.
Diviseur à deux chiffres : 2 583 ÷ 21
Le plus difficile est d’estimer chaque chiffre du quotient. On arrondit le diviseur : 21 ≈ 20.
- 25 ÷ 21 → 1, reste
25 − 21 = 4; on abaisse 8 → 48. - 48 ÷ 21 → 2 (
21 × 2 = 42), reste 6 ; on abaisse 3 → 63. - 63 ÷ 21 → 3 (
21 × 3 = 63), reste 0.
Quotient 123. Si une soustraction devient impossible, le chiffre essayé est trop grand ; si le reste dépasse le diviseur, il est trop petit. Écrire au brouillon la « table » du diviseur (21, 42, 63, 84…) fait gagner du temps.
Obtenir un quotient décimal
Quand le reste n’est pas nul, on peut continuer : on place une virgule au quotient, puis on abaisse des zéros.
Exemple : 47 ÷ 4. 4 ÷ 4 = 1 ; 7 ÷ 4 = 1 reste 3 → virgule → 30 ÷ 4 = 7 reste 2 → 20 ÷ 4 = 5 reste 0. Quotient 11,75.
Certaines divisions ne s’arrêtent jamais : 10 ÷ 3 = 3,333… On arrondit alors (voir arrondir un nombre).
Dividende ou diviseur décimal
- Dividende décimal : on pose normalement et on place la virgule au quotient au moment où l’on abaisse le premier chiffre après la virgule.
9,6 ÷ 4 = 2,4. - Diviseur décimal : on multiplie dividende et diviseur par 10, 100… pour rendre le diviseur entier ; le quotient ne change pas.
7,5 ÷ 0,25 = 750 ÷ 25 = 30.
Erreurs fréquentes
- Oublier un zéro au quotient : dans
618 ÷ 3, après 6 ÷ 3 = 2, le 1 abaissé est plus petit que 3, il faut écrire 0 au quotient avant d’abaisser le 8. Résultat 206, pas 26. - Reste partiel ≥ diviseur : le chiffre choisi est trop petit.
- Oublier d’abaisser un chiffre ou en abaisser deux à la fois.
- Mal placer la virgule quand le dividende est décimal.
- Ne pas vérifier : la multiplication inverse détecte presque toutes les erreurs.
Exercice corrigé
936 ÷ 4→ 9 ÷ 4 = 2 r 1 ; 13 ÷ 4 = 3 r 1 ; 16 ÷ 4 = 4 r 0. 234.5 027 ÷ 5→ 1 005, reste 2. Vérification :5 × 1 005 + 2 = 5 027.3 384 ÷ 24→ 33 ÷ 24 = 1 r 9 ; 98 ÷ 24 = 4 r 2 ; 24 ÷ 24 = 1 r 0. 141.- Partager 85 € entre 4 personnes :
85 ÷ 4 = 21,25. Chacun reçoit 21,25 €.
Questions fréquentes
Comment savoir combien de chiffres aura le quotient ?
On regarde par quel rang on commence. Si le diviseur tient dans les centaines du dividende, le quotient a trois chiffres (centaines, dizaines, unités). Cela évite d’oublier un zéro.
Que faire quand le diviseur ne tient pas dans le premier chiffre ?
On prend un chiffre de plus. Pour 2 583 ÷ 21, 2 est trop petit, on commence par 25.
Quelle est la différence entre division posée et division euclidienne ?
La division euclidienne est l’opération entre entiers qui donne un quotient entier et un reste. La division posée est la technique de calcul ; elle permet aussi de poursuivre après la virgule pour obtenir un quotient décimal.
Peut-on diviser par zéro ?
Non : aucun nombre multiplié par 0 ne redonne le dividende. Voir la division par zéro.