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Les droites remarquables du triangle
Un triangle possède quatre familles de droites remarquables : médiatrices, bissectrices, médianes et hauteurs. Dans chaque famille, les trois droites se coupent en un même point.
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Médiatrice, bissectrice, médiane et hauteur : ces quatre mots se confondent facilement. Chacune se définit pourtant très précisément, et chacune conduit à un point particulier du triangle : centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit, centre de gravité, orthocentre. Le fait que trois droites se coupent toujours en un même point (on dit qu’elles sont concourantes) est un résultat remarquable de la géométrie.
Tableau récapitulatif
| Droite | Définition | Point de concours | Propriété du point |
|---|---|---|---|
| Médiatrice | Perpendiculaire à un côté en son milieu | Centre du cercle circonscrit O | Équidistant des 3 sommets |
| Bissectrice | Partage un angle en deux angles égaux | Centre du cercle inscrit I | Équidistant des 3 côtés |
| Médiane | Relie un sommet au milieu du côté opposé | Centre de gravité G | Aux 2/3 de chaque médiane depuis le sommet |
| Hauteur | Passe par un sommet, perpendiculaire au côté opposé | Orthocentre H | Aucune propriété de distance simple |
La médiatrice
Construction au compas : tracer deux arcs de même rayon (plus grand que la moitié de AB), centrés en A et en B. Les deux points d’intersection des arcs définissent la médiatrice.
Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés se coupent en un point O, à égale distance des trois sommets : c’est le centre du cercle circonscrit, le cercle qui passe par A, B et C. Ce point est à l’intérieur du triangle s’il est acutangle, au milieu de l’hypoténuse s’il est rectangle, à l’extérieur s’il est obtusangle.
La bissectrice
Construction au compas : un arc centré sur le sommet coupe les deux côtés en deux points ; deux arcs de même rayon centrés en ces points se coupent sur la bissectrice.
Les trois bissectrices intérieures d’un triangle se coupent en I, centre du cercle inscrit, tangent aux trois côtés. Le rayon r de ce cercle vérifie A = r × p, où A est l’aire du triangle et p son demi-périmètre.
La médiane
Les trois médianes se coupent en G, le centre de gravité (ou isobarycentre). Une plaque triangulaire homogène tient en équilibre sur une pointe placée en G. Ce point est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet : AG = 2/3 × AA', où A' est le milieu de [BC].
Chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire. En repère, les coordonnées de G sont la moyenne de celles des sommets : G = ((xA + xB + xC)/3 ; (yA + yB + yC)/3).
La hauteur
Les trois hauteurs se coupent en H, l'orthocentre. Dans un triangle rectangle, H est le sommet de l’angle droit. Dans un triangle obtusangle, il est à l’extérieur. La hauteur sert à calculer l’aire : A = base × hauteur / 2.
Les cas particuliers
Dans un triangle isocèle en A, la médiatrice de [BC], la bissectrice de Â, la médiane et la hauteur issues de A sont la même droite, qui est l’axe de symétrie du triangle. Dans un triangle équilatéral, c’est vrai pour les trois sommets, et les quatre points O, I, G, H sont confondus.
La droite d’Euler
Dans tout triangle non équilatéral, le centre du cercle circonscrit O, le centre de gravité G et l’orthocentre H sont alignés sur une droite appelée droite d’Euler, et GH = 2 × OG. Ce résultat a été établi par Leonhard Euler en 1765. Le centre du cercle inscrit I n’est en général pas sur cette droite.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre médiane et médiatrice ?
La médiane part d’un sommet et va au milieu du côté opposé ; elle n’est pas perpendiculaire en général. La médiatrice passe par le milieu d’un côté et lui est perpendiculaire ; elle ne passe pas forcément par un sommet.
Quelle est la différence entre hauteur et médiatrice ?
Les deux sont perpendiculaires à un côté, mais la hauteur passe par le sommet opposé, la médiatrice par le milieu du côté. Elles ne coïncident que si le triangle est isocèle.
À quoi sert la médiatrice dans la vie courante ?
À trouver un point équidistant de plusieurs lieux : par exemple, l’emplacement d’une antenne à égale distance de trois villages est le centre du cercle circonscrit au triangle qu’ils forment.
Comment trouver le centre d’un cercle déjà tracé ?
On choisit trois points sur le cercle et on trace les médiatrices de deux cordes : elles se coupent au centre. Voir le cercle et le disque.