Sciences · Mathématiques
La suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci commence par 0 et 1, puis chaque terme est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre d’or, environ 1,618.
Mis à jour le 6 min de lecture
Peu de suites de nombres sont aussi célèbres. Définie par une règle d’une simplicité enfantine, la suite de Fibonacci réserve une foule de propriétés étonnantes, entretient un lien profond avec le nombre d’or et apparaît dans l’arrangement de certaines plantes. Elle est aussi entourée de nombreuses exagérations, qu’il est utile de distinguer des faits.
C’est une suite définie par récurrence (voir suites numériques). Certains auteurs la font commencer à 1, 1 ; les termes suivants sont identiques.
Les premiers termes
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fₙ | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 6 765 | 832 040 |
La suite croît très vite, à peu près comme une suite géométrique de raison 1,618 : F₅₀ dépasse 12 milliards, F₁₀₀ compte 21 chiffres.
L’origine : le problème des lapins
Leonardo Fibonacci, dit Léonard de Pise (vers 1170-vers 1250), est un marchand et mathématicien italien. Formé au calcul dans le port de Béjaïa (dans l’actuelle Algérie), où son père représentait les marchands pisans, il découvre les chiffres indo-arabes. En 1202, il publie le Liber abaci (« Livre du calcul »), qui contribue à les diffuser en Europe (voir histoire du zéro).
Parmi les nombreux problèmes du livre figure celui-ci : un couple de lapins, qui devient fertile au bout d’un mois puis donne naissance à un nouveau couple chaque mois. Combien de couples y aura-t-il au bout d’un an, si aucun lapin ne meurt ?
| Mois | Couples adultes | Couples jeunes | Total |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 4 | 2 | 1 | 3 |
| 5 | 3 | 2 | 5 |
| 6 | 5 | 3 | 8 |
Le nombre de couples à chaque mois est la somme des deux mois précédents : les couples existants, plus les nouveau-nés des couples du mois d’avant. Selon ce tableau, on compte 144 couples au douzième mois ; Fibonacci, qui part d’un couple déjà en âge de se reproduire, obtient 377 couples au bout de l’année. Le modèle est évidemment irréaliste, mais la suite était lancée.
La suite était connue bien avant lui en Inde, où des savants comme Virahanka (vers le VIIe siècle) et Hemachandra (XIIe siècle) l’avaient obtenue en comptant les rythmes possibles de la poésie sanskrite, faite de syllabes courtes et longues. Le nom « suite de Fibonacci » est donné au XIXe siècle par le mathématicien français Édouard Lucas.
Le lien avec le nombre d’or
Le quotient de deux termes consécutifs se rapproche du nombre d’or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 034.
| Quotient | Valeur |
|---|---|
| 3 / 2 | 1,5 |
| 5 / 3 | 1,667 |
| 8 / 5 | 1,6 |
| 13 / 8 | 1,625 |
| 21 / 13 | 1,615 4 |
| 89 / 55 | 1,618 18 |
| 610 / 377 | 1,618 04 |
Les quotients oscillent alternativement au-dessus et en dessous de φ en s’en rapprochant toujours plus. Voir nombre d’or.
La formule de Binet
On peut calculer directement le n-ième terme sans passer par les précédents :
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, avec φ = (1 + √5)/2 et ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,618.
Comme |ψ| < 1, le terme ψⁿ devient vite négligeable : Fₙ est l’entier le plus proche de φⁿ / √5. Il est remarquable qu’une formule faisant intervenir l'irrationnel √5 donne toujours un nombre entier. Elle porte le nom du Français Jacques Binet (1843), bien qu’Abraham de Moivre et Euler l’aient connue avant lui.
Des propriétés étonnantes
- Somme des premiers termes :
F₁ + F₂ + … + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1. Par exemple 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = 21 − 1. - Somme des carrés :
F₁² + F₂² + … + Fₙ² = Fₙ × Fₙ₊₁. D’où la construction de rectangles formés de carrés de côtés 1, 1, 2, 3, 5, 8… et de la célèbre « spirale de Fibonacci » qui en relie les coins. - Parité : un terme sur trois est pair (F₃ = 2, F₆ = 8, F₉ = 34…).
- Divisibilité : Fₙ divise Fₖₙ ; et le PGCD de deux termes est un terme de la suite :
PGCD(Fₘ ; Fₙ) = F_PGCD(m ; n)(voir PGCD et PPCM). - Identité de Cassini :
Fₙ₋₁ × Fₙ₊₁ − Fₙ² = (−1)ⁿ. Par exemple 5 × 13 − 8² = 1. - Théorème de Zeckendorf : tout entier positif s’écrit de façon unique comme somme de termes de Fibonacci non consécutifs (100 = 89 + 8 + 3).
- Conversion miles-kilomètres : un mile vaut environ 1,609 km, proche de φ. Deux termes consécutifs donnent donc une conversion approchée : 5 miles ≈ 8 km, 8 miles ≈ 13 km.
Fibonacci dans la nature : ce qui est vrai
L’arrangement des feuilles, des graines et des écailles de nombreuses plantes (la phyllotaxie) fait souvent apparaître des nombres de Fibonacci :
- les graines d’un tournesol forment deux familles de spirales, dont les nombres sont fréquemment deux termes consécutifs, comme 34 et 55 ou 55 et 89 ;
- les écailles des pommes de pin et des ananas, les fleurons des marguerites et les fleurettes du chou romanesco présentent souvent des spirales en nombres de Fibonacci (8 et 13 pour de nombreuses pommes de pin) ;
- les feuilles se succèdent souvent autour de la tige selon un angle voisin de 137,5°, l'« angle d’or », qui assure un empilement efficace.
Ce phénomène s’explique par la croissance des plantes : chaque nouvel organe se forme dans l’espace le plus libre, ce qui conduit naturellement à l’angle d’or et aux nombres de Fibonacci. Il ne s’agit cependant pas d’une loi universelle : de nombreuses plantes y dérogent.
Fibonacci dans les sciences et la technique
- Informatique : la suite est un exemple classique de récursivité et de programmation dynamique ; elle sert dans certaines structures de données (tas de Fibonacci) et méthodes de recherche (voir algorithme).
- Finance : les « retracements de Fibonacci » utilisés en analyse technique boursière n’ont pas de fondement scientifique démontré.
- Mathématiques : une revue scientifique, The Fibonacci Quarterly, est consacrée depuis 1963 à la suite et à ses généralisations.
Questions fréquentes
Comment calcule-t-on la suite de Fibonacci ?
On part de 0 et 1, puis on ajoute les deux derniers termes pour obtenir le suivant : 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, etc.
Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or ?
Le quotient d’un terme par le précédent tend vers le nombre d’or, φ ≈ 1,618, quand on avance dans la suite.
Qui était Fibonacci ?
Léonard de Pise, mathématicien italien du XIIIe siècle, qui popularisa en Europe les chiffres indo-arabes avec son Liber abaci (1202), où figure le problème des lapins.
La suite de Fibonacci est-elle partout dans la nature ?
Elle apparaît souvent dans l’arrangement des graines et des feuilles des plantes, pour des raisons liées à leur croissance, mais pas systématiquement. Beaucoup d’exemples cités ailleurs sont exagérés.