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La proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité. Leur représentation graphique est une droite passant par l’origine.
Mis à jour le 4 min de lecture
Le prix d’un plein est proportionnel au nombre de litres, la distance parcourue à vitesse constante est proportionnelle au temps, une recette se double en doublant chaque ingrédient. La proportionnalité est la relation la plus simple entre deux grandeurs, et la plus utile au quotidien. Savoir la reconnaître, et surtout reconnaître quand elle ne s’applique pas, évite bien des erreurs.
Le tableau de proportionnalité
Un tableau est de proportionnalité si l’on passe de chaque nombre de la première ligne au nombre correspondant de la deuxième en multipliant par le même coefficient.
| Litres d’essence | 1 | 10 | 25 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 1,80 | 18 | 45 | 72 |
Ici, on multiplie toujours par 1,80 : c’est le prix au litre, le coefficient de proportionnalité.
Comment vérifier qu’un tableau est proportionnel ?
On calcule les quotients y / x pour chaque colonne : s’ils sont tous égaux, le tableau est de proportionnalité.
| Temps (h) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Distance (km) | 80 | 160 | 240 | 300 |
160/2 = 80 et 240/3 = 80, mais 300/4 = 75 : ce tableau n’est pas de proportionnalité.
Les propriétés pour compléter un tableau
Dans un tableau de proportionnalité, on peut calculer une valeur manquante de plusieurs façons :
| Propriété | Principe | Exemple (1 kg = 3 €) |
|---|---|---|
| Coefficient | multiplier par k | 7 kg → 7 × 3 = 21 € |
| Linéarité multiplicative | si x est multiplié par un nombre, y aussi | 2 kg → 6 €, donc 10 kg (× 5) → 30 € |
| Linéarité additive | additionner deux colonnes | 2 kg → 6 € et 5 kg → 15 €, donc 7 kg → 21 € |
| Retour à l’unité | calculer la valeur pour 1 | 4 kg → 12 €, donc 1 kg → 3 € |
| Produit en croix | x₂ = x₁ × y₂ / y₁ | voir règle de trois |
La représentation graphique
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si leur représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère (le point (0 ; 0)).
- Le coefficient k est la pente (le coefficient directeur) de la droite.
- Une droite qui ne passe pas par l’origine ne traduit pas une proportionnalité : c’est une fonction affine
y = ax + bavec b ≠ 0. - Une courbe qui n’est pas une droite non plus.
En termes de fonctions, une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire f(x) = kx.
Exemples de proportionnalité… et de non-proportionnalité
| Situation | Proportionnelle ? | Explication |
|---|---|---|
| Prix et nombre d’articles identiques | oui | prix unitaire constant |
| Distance et durée à vitesse constante | oui | d = v × t |
| Périmètre d’un carré et son côté | oui | P = 4 × c |
| Aire d’un carré et son côté | non | A = c² |
| Masse et volume d’une même matière | oui | masse volumique constante |
| Prix d’un taxi et distance | non | prise en charge fixe : prix = a × d + b |
| Abonnement avec forfait + consommation | non | part fixe |
| Âge et taille d’une personne | non | aucune relation régulière |
| Conversion d’euros en dollars (sans frais) | oui | taux de change |
| Conversion de °C en °F | non | °F = 1,8 × °C + 32 (voir conversion des températures) |
Les applications courantes
Les pourcentages
Prendre un pourcentage, c’est appliquer un coefficient de proportionnalité : 20 % d’une quantité, c’est cette quantité multipliée par 0,20. Voir calcul de pourcentage.
Les échelles
Sur une carte ou un plan, les distances sont proportionnelles aux distances réelles. L’échelle est le coefficient : au 1/50 000, 1 cm sur la carte représente 50 000 cm, soit 500 m.
Les vitesses, débits et densités
La vitesse (km/h), le débit (L/min), la masse volumique (kg/m³), le prix unitaire (€/kg) sont des grandeurs quotients : chacune est le coefficient de proportionnalité entre deux grandeurs.
Les recettes et dosages
Adapter une recette, diluer un produit, préparer un mélange (voir solutions et concentration) relèvent de la proportionnalité.
Partage proportionnel
Partager une somme proportionnellement à des nombres donnés, c’est attribuer à chacun une part proportionnelle à son nombre.
La proportionnalité inverse
Deux grandeurs sont inversement proportionnelles si leur produit est constant : x × y = k. Quand l’une double, l’autre est divisée par deux. Exemples : la vitesse et la durée d’un trajet fixe, le nombre d’ouvriers et la durée d’un chantier. Leur représentation graphique est une hyperbole, non une droite.
Questions fréquentes
Comment savoir si deux grandeurs sont proportionnelles ?
On calcule les quotients des valeurs correspondantes : s’ils sont tous égaux, il y a proportionnalité. Graphiquement, les points doivent être alignés sur une droite passant par l’origine.
Qu’est-ce que le coefficient de proportionnalité ?
C’est le nombre constant par lequel on multiplie la première grandeur pour obtenir la seconde, par exemple le prix au kilo ou la vitesse.
Une fonction affine est-elle une situation de proportionnalité ?
Seulement si son ordonnée à l’origine est nulle (y = ax). Une fonction affine y = ax + b avec b ≠ 0 ne représente pas une proportionnalité.
Quelle est la différence entre proportionnalité et règle de trois ?
La proportionnalité est la relation entre deux grandeurs ; la règle de trois est une méthode de calcul qui s’applique quand cette relation existe.