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Les nombres irrationnels
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers. Son écriture décimale est infinie et non périodique. √2, π et le nombre d’or sont irrationnels.
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Pendant longtemps, on a cru que toute grandeur pouvait se mesurer par un rapport d’entiers. La découverte qu’il n’en est rien, attribuée aux pythagoriciens, fut l’un des premiers grands chocs de l’histoire des mathématiques. Ces nombres « sans rapport » ont reçu le nom d'irrationnels, du latin ratio, « rapport ».
Rationnel ou irrationnel : le critère décimal
| Nombre | Développement décimal | Nature |
|---|---|---|
| 3/8 | 0,375 (fini) | rationnel (décimal) |
| 1/7 | 0,142857 142857… (périodique) | rationnel |
| √2 | 1,414 213 562 373… (sans période) | irrationnel |
| π | 3,141 592 653 589… | irrationnel |
| 0,101 001 000 1… (un 1, puis de plus en plus de 0) | infini, non périodique par construction | irrationnel |
Attention : voir beaucoup de décimales sans motif répété ne prouve rien. L’irrationalité se démontre mathématiquement, jamais par simple observation.
Les irrationnels les plus célèbres
| Nombre | Valeur approchée | Origine | Irrationalité démontrée |
|---|---|---|---|
| √2 | 1,414 21 | diagonale d’un carré de côté 1 | Antiquité grecque |
| √3 | 1,732 05 | hauteur d’un triangle équilatéral de côté 2 | Antiquité (Théodore de Cyrène) |
| φ (nombre d’or) | 1,618 03 | (1 + √5) / 2 | conséquence de l’irrationalité de √5 |
| π | 3,141 59 | rapport de la circonférence au diamètre | Johann Heinrich Lambert, 1761 |
| e | 2,718 28 | base des logarithmes népériens | Leonhard Euler, 1737 |
| ln 2 | 0,693 15 | logarithme de 2 | XVIIIe siècle |
Voir nombre pi, nombre d’or et logarithme.
Une règle pratique pour les racines
La racine carrée d’un entier naturel est soit un entier (si c’est un carré parfait : √9 = 3, √144 = 12), soit un irrationnel. Ainsi √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10… sont tous irrationnels. Voir racine carrée.
La démonstration classique : √2 est irrationnel
C’est l’un des raisonnements par l'absurde les plus célèbres. Aristote y fait déjà allusion.
- Supposons que √2 soit rationnel :
√2 = a / b, avec a et b entiers positifs et la fraction irréductible (a et b n’ont pas de diviseur commun autre que 1). - En élevant au carré :
2 = a² / b², donca² = 2 b². Ainsi a² est pair. - Si a² est pair, a est pair (le carré d’un impair est impair). On écrit
a = 2k. - Alors
(2k)² = 2 b², soit4k² = 2b², doncb² = 2k²: b² est pair, donc b est pair. - a et b sont tous deux pairs : ils ont 2 comme diviseur commun, ce qui contredit l’hypothèse d’une fraction irréductible.
- L’hypothèse de départ est donc fausse : √2 est irrationnel.
Une histoire chargée de légendes
Les pythagoriciens pensaient que « tout est nombre », au sens de nombres entiers et de leurs rapports. La découverte de grandeurs incommensurables, comme le côté et la diagonale d’un carré, remit cette conception en cause au Ve siècle av. J.-C. La tradition attribue cette découverte à Hippase de Métaponte, qui aurait été puni ou noyé pour l’avoir divulguée ; ces récits, rapportés bien plus tard, sont légendaires.
Les Grecs contournent la difficulté en séparant la géométrie des grandeurs de l'arithmétique des nombres entiers : c’est le choix d'Euclide dans les Éléments, qui s’appuie sur la théorie des proportions d’Eudoxe de Cnide. Il faudra attendre le XIXe siècle pour qu’une construction rigoureuse des nombres réels soit proposée par Richard Dedekind et Georg Cantor (1872).
Algébriques et transcendants
Parmi les irrationnels, on distingue :
- les irrationnels algébriques, solutions d’une équation polynomiale à coefficients entiers : √2 est solution de
x² − 2 = 0, le nombre d’or dex² − x − 1 = 0; - les nombres transcendants, qui ne sont solution d’aucune équation de ce type : e (Charles Hermite, 1873) et π (Ferdinand von Lindemann, 1882).
La transcendance de π a une conséquence célèbre : la quadrature du cercle, construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle donné, est impossible. Ce problème posé depuis l’Antiquité était ainsi définitivement résolu.
Quelques propriétés surprenantes
- Les irrationnels sont partout : entre deux rationnels, aussi proches soient-ils, il y a une infinité d’irrationnels, et inversement.
- Ils sont « plus nombreux » que les rationnels : les rationnels sont dénombrables, les irrationnels ne le sont pas (voir l’infini en mathématiques). Un réel « tiré au hasard » est irrationnel avec une probabilité de 1.
- Les opérations ne sont pas stables : la somme de deux irrationnels peut être rationnelle (
√2 + (−√2) = 0), le produit aussi (√2 × √2 = 2). - Questions ouvertes : on ne sait toujours pas si
π + eouπ × esont irrationnels.
Questions fréquentes
Comment savoir si un nombre est irrationnel ?
Il faut le démontrer, en général par l’absurde. En pratique, on retient que la racine carrée d’un entier qui n’est pas un carré parfait est irrationnelle, ainsi que π, e et le nombre d’or.
0,333… est-il irrationnel ?
Non. Son développement est infini mais périodique : il vaut exactement 1/3, un nombre rationnel.
π est-il égal à 22/7 ?
Non. 22/7 ≈ 3,142 857 est une approximation de π à environ un millième près. π étant irrationnel, aucune fraction ne lui est égale.
Un nombre irrationnel a-t-il une fin ?
Non. Son écriture décimale est infinie et ne se répète jamais de façon périodique.