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Les types de triangles
On classe les triangles selon leurs côtés (scalène, isocèle, équilatéral) et selon leurs angles (acutangle, rectangle, obtusangle). Les deux classements se combinent.
Mis à jour le 4 min de lecture
Un triangle est un polygone à trois côtés et trois sommets. C’est la figure la plus simple du plan : trois points non alignés suffisent à la définir, et toute figure polygonale peut être découpée en triangles. On distingue les triangles de deux façons complémentaires : par la longueur de leurs côtés et par la mesure de leurs angles.
Classement selon les côtés
| Type | Côtés | Angles | Axes de symétrie |
|---|---|---|---|
| Scalène (quelconque) | 3 longueurs différentes | 3 angles différents | 0 |
| Isocèle | 2 côtés égaux | 2 angles à la base égaux | 1 |
| Équilatéral | 3 côtés égaux | 3 angles de 60° | 3 |
Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle : il est isocèle en chacun de ses sommets. Les propriétés détaillées de ces deux figures sont présentées dans la fiche triangle isocèle et triangle équilatéral.
Classement selon les angles
| Type | Angles | Remarque |
|---|---|---|
| Acutangle | 3 angles aigus (< 90°) | Le triangle équilatéral est acutangle |
| Rectangle | 1 angle droit (90°) | Le côté opposé est l’hypoténuse |
| Obtusangle | 1 angle obtus (> 90°) | Un seul angle obtus est possible |
Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits ni deux angles obtus : la somme des angles dépasserait 180°. Le triangle rectangle est le plus utilisé en pratique, car il permet d’appliquer le théorème de Pythagore et la trigonométrie.
Les combinaisons possibles
Les deux classements se croisent :
- rectangle isocèle : un angle droit et deux angles de 45° (la moitié d’un carré coupé par sa diagonale) ;
- rectangle scalène : par exemple le triangle de côtés 3, 4 et 5 ;
- obtusangle isocèle : par exemple des angles de 120°, 30° et 30° ;
- acutangle isocèle, acutangle scalène, obtusangle scalène.
En revanche, un triangle équilatéral ne peut être ni rectangle ni obtusangle, puisque ses trois angles mesurent 60°.
Reconnaître le type à partir des côtés
Connaissant les trois longueurs a, b, c, avec c le plus grand côté, on compare c² à a² + b² :
| Comparaison | Type de triangle |
|---|---|
c² = a² + b² | Rectangle (réciproque de Pythagore) |
c² < a² + b² | Acutangle |
c² > a² + b² | Obtusangle |
L’inégalité triangulaire : quand un triangle existe-t-il ?
Trois longueurs ne forment pas toujours un triangle. Il faut que chaque côté soit plus petit que la somme des deux autres :
a < b + c, b < a + c, c < a + b
En pratique, il suffit de vérifier que le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres. Avec 2, 3 et 6 cm, c’est impossible (6 > 2 + 3). Avec 2, 3 et 5 cm, les trois points sont alignés : on obtient un triangle « aplati », qui n’est pas un vrai triangle.
Formules communes à tous les triangles
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Périmètre | P = a + b + c |
| Aire (base et hauteur) | A = b × h / 2 |
| Aire (formule de Héron) | A = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) avec p = (a + b + c) / 2 |
| Aire (deux côtés et l’angle compris) | A = ½ × a × b × sin(C) |
| Somme des angles | Â + B̂ + Ĉ = 180° |
La hauteur est le segment issu d’un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Dans un triangle obtusangle, deux des hauteurs tombent à l’extérieur du triangle, sur le prolongement des côtés. Voir les droites remarquables du triangle.
Triangles semblables et triangles égaux
Deux triangles sont égaux (ou isométriques) s’ils sont superposables : mêmes longueurs de côtés. Ils sont semblables s’ils ont les mêmes angles : l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre, et leurs côtés sont proportionnels. C’est la situation du théorème de Thalès.
Trois cas permettent d’affirmer que deux triangles sont égaux : trois côtés égaux deux à deux ; deux côtés et l’angle compris égaux ; un côté et les deux angles adjacents égaux.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un triangle isocèle et un triangle équilatéral ?
Un triangle isocèle a au moins deux côtés égaux ; un triangle équilatéral en a trois. Tout triangle équilatéral est donc isocèle, mais l’inverse est faux.
Un triangle peut-il être à la fois rectangle et isocèle ?
Oui : ses deux côtés de l’angle droit sont égaux et ses deux autres angles mesurent 45°. Son hypoténuse vaut a√2 si les côtés égaux mesurent a.
Comment s’appelle un triangle qui n’a aucun côté égal ?
Un triangle scalène, aussi dit « quelconque ». Ses trois angles sont également différents.
Peut-on construire un triangle avec n’importe quelles longueurs ?
Non. Le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres (inégalité triangulaire).