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Les ensembles de nombres
Les nombres sont classés en ensembles emboîtés : entiers naturels (ℕ), entiers relatifs (ℤ), décimaux (𝔻), rationnels (ℚ), réels (ℝ) et complexes (ℂ). Chaque ensemble contient le précédent.
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Compter des moutons, mesurer une dette, partager une pizza, calculer la diagonale d’un carré, résoudre x² = −1 : chaque besoin a conduit les mathématiciens à inventer un nouveau type de nombres. Le résultat est une suite d’ensembles emboîtés, chacun prolongeant le précédent pour rendre possibles des opérations qui ne l’étaient pas.
Vue d’ensemble
| Ensemble | Nom | Contient | Exemples | Ce qu’il permet en plus |
|---|---|---|---|---|
| ℕ | entiers naturels | 0, 1, 2, 3… | 0 ; 7 ; 2 026 | compter |
| ℤ | entiers relatifs | les naturels et leurs opposés | −5 ; 0 ; 12 | soustraire toujours |
| 𝔻 | nombres décimaux | les nombres à écriture décimale finie | 3,75 ; −0,2 ; 1/4 | mesurer au dixième, au centième… |
| ℚ | nombres rationnels | les quotients a/b d’entiers (b ≠ 0) | 1/3 ; −7/4 ; 0,5 | diviser toujours (sauf par 0) |
| ℝ | nombres réels | rationnels et irrationnels | √2 ; π ; e | mesurer toute longueur, toute limite |
| ℂ | nombres complexes | les nombres a + ib, avec i² = −1 | 2 + 3i ; i | extraire toute racine, résoudre toute équation polynomiale |
ℕ : les entiers naturels
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Ce sont les nombres qui servent à compter. Ils sont infinis : tout entier a un successeur. L’addition et la multiplication de deux naturels donnent toujours un naturel, mais pas la soustraction (3 − 5 n’est pas dans ℕ) ni la division (7 ÷ 2 non plus). On note ℕ* l’ensemble des naturels non nuls.
En France, la convention veut que 0 appartienne à ℕ ; dans certains pays et ouvrages, ℕ commence à 1. Le zéro est une invention tardive dans l’histoire des nombres (voir histoire du zéro). Les nombres premiers sont des entiers naturels particuliers.
ℤ : les entiers relatifs
ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
On ajoute à ℕ les nombres négatifs, pour que la soustraction soit toujours possible : températures sous zéro, altitudes sous le niveau de la mer, dettes. La lettre ℤ vient de l’allemand Zahlen, « nombres ».
Les nombres négatifs ont longtemps été suspects. Les mathématiciens chinois et indiens les utilisaient dès l’Antiquité et le Moyen Âge (Brahmagupta en donne les règles de calcul au VIIe siècle), mais en Europe ils ne sont pleinement acceptés qu’aux XVIIe et XVIIIe siècles.
Règle des signes : (−) × (−) = (+), (−) × (+) = (−).
𝔻 : les nombres décimaux
Un nombre décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Autrement dit, c’est un nombre de la forme a / 10ⁿ avec a entier relatif et n entier naturel : 3,75 = 375 / 100.
- 1/4 = 0,25 est décimal ;
- 1/3 = 0,333… n’est pas décimal : son écriture ne s’arrête jamais.
Une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5. L’ensemble 𝔻 est une spécificité de l’enseignement français ; il est rarement nommé ailleurs.
ℚ : les nombres rationnels
ℚ = { a / b, avec a ∈ ℤ et b ∈ ℤ* }
Ce sont les quotients de deux entiers, c’est-à-dire les fractions. La lettre ℚ vient de quotient. Dans ℚ, on peut diviser par n’importe quel nombre non nul.
Propriété clé : l’écriture décimale d’un rationnel est soit finie, soit périodique à partir d’un certain rang.
- 1/3 = 0,333 3… (période 3)
- 1/7 = 0,142857 142857… (période 142857)
- 5/12 = 0,416 66… (période 6 à partir de la 3e décimale)
Inversement, tout nombre à écriture décimale périodique est rationnel : 0,999… est même exactement égal à 1.
ℝ : les nombres réels
Les Grecs ont découvert qu’il existe des longueurs qui ne sont le quotient d’aucun couple d’entiers : la diagonale d’un carré de côté 1 mesure √2, qui n’est pas rationnel. On les appelle les nombres irrationnels : √2, √3, π, le nombre d’or, e…
L’ensemble ℝ des réels réunit rationnels et irrationnels. On le représente par une droite graduée : à chaque point correspond un réel et réciproquement. Leur écriture décimale peut être infinie et non périodique.
| Nombre | Rationnel ? | Écriture décimale |
|---|---|---|
| 0,75 | oui (décimal) | finie |
| 2/3 | oui | infinie périodique : 0,666… |
| √2 | non | infinie non périodique : 1,414 213 56… |
| π | non | infinie non périodique : 3,141 592 65… (voir nombre pi) |
Il y a « beaucoup plus » de réels que de rationnels : Georg Cantor a montré en 1874 que ℝ n’est pas dénombrable, alors que ℚ l’est (voir l’infini en mathématiques).
ℂ : les nombres complexes
Dans ℝ, aucun nombre n’a un carré négatif : l’équation x² = −1 n’a pas de solution. On introduit un nombre i tel que i² = −1 et l’on obtient les nombres complexes, de la forme a + ib avec a et b réels. Dans ℂ, toute équation polynomiale a des solutions (théorème fondamental de l’algèbre). Voir nombres complexes.
Comment savoir à quel ensemble appartient un nombre ?
On cherche le plus petit ensemble qui le contient :
| Nombre | Plus petit ensemble | Justification |
|---|---|---|
| 12 | ℕ | entier positif |
| −4 | ℤ | entier négatif |
| 8/2 | ℕ | 8/2 = 4 |
| −2,5 | 𝔻 | écriture décimale finie |
| 1/3 | ℚ | écriture infinie périodique |
| √16 | ℕ | √16 = 4 |
| √5 | ℝ | 5 n’est pas un carré parfait, √5 est irrationnel |
| π/2 | ℝ | irrationnel |
| 3 + 2i | ℂ | partie imaginaire non nulle |
Questions fréquentes
Zéro est-il un entier naturel ?
En France, oui : ℕ = {0, 1, 2, …}. Certains auteurs, surtout anglo-saxons, le font commencer à 1. On note ℕ* l’ensemble des entiers naturels non nuls.
Un entier est-il un nombre décimal ?
Oui. Un entier s’écrit avec zéro chiffre après la virgule : c’est un décimal particulier (5 = 5,0).
Quelle est la différence entre un rationnel et un décimal ?
Tout décimal est rationnel, mais l’inverse est faux : 1/3 est rationnel mais pas décimal, car son écriture décimale est infinie.
Pourquoi π n’est-il pas une fraction ?
Parce que c’est un nombre irrationnel, démontré par Johann Heinrich Lambert en 1761 : 22/7 ou 355/113 n’en sont que des approximations.