Sciences · Mathématiques
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle possède un angle droit (90°). Le côté opposé à cet angle, le plus long, est l’hypoténuse ; son carré égale la somme des carrés des deux autres côtés.
Mis à jour le 3 min de lecture
Le triangle rectangle est la figure centrale de la géométrie élémentaire. Ses propriétés permettent de calculer des distances (Pythagore), des angles (trigonométrie), de vérifier qu’un mur est d’équerre ou de calculer la pente d’un toit. Tout triangle peut d’ailleurs être découpé en deux triangles rectangles par une hauteur.
Les propriétés essentielles
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Angles aigus | Les deux angles non droits sont aigus et complémentaires : leur somme vaut 90° |
| Hypoténuse | C’est le plus long des trois côtés |
| Pythagore | BC² = AB² + AC² |
| Cercle circonscrit | Son centre est le milieu de l’hypoténuse, son rayon vaut la moitié de l’hypoténuse |
| Médiane | La médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse |
| Hauteurs | Les deux côtés de l’angle droit sont aussi des hauteurs |
Les formules
| Grandeur | Formule (triangle rectangle en A) |
|---|---|
| Aire | A = AB × AC / 2 |
| Périmètre | P = AB + AC + BC |
| Hypoténuse | BC = √(AB² + AC²) |
| Côté de l’angle droit | AB = √(BC² − AC²) |
| Hauteur issue de A | AH = AB × AC / BC |
| Rayon du cercle circonscrit | R = BC / 2 |
L’aire est simple, car un côté de l’angle droit sert de base et l’autre de hauteur : le triangle rectangle est la moitié d’un rectangle.
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est la propriété la plus célèbre du triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Sa réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle : si BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.
La trigonométrie dans le triangle rectangle
Pour un angle aigu, on définit trois rapports qui ne dépendent que de l’angle (voir la trigonométrie) :
cos = côté adjacent / hypoténusesin = côté opposé / hypoténusetan = côté opposé / côté adjacent
Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA.
Le cercle circonscrit et le demi-cercle
Le centre du cercle passant par les trois sommets d’un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse. Réciproquement, tout triangle inscrit dans un demi-cercle, dont un côté est un diamètre, est rectangle. C’est ce résultat que les anglophones appellent « théorème de Thalès ».
Conséquence pratique : pour tracer un angle droit avec une corde, on peut tracer un cercle, un diamètre, et relier ses extrémités à n’importe quel point du cercle. Voir aussi le cercle et le disque.
Les relations métriques
Si H est le pied de la hauteur issue de A sur [BC], on a :
AH² = BH × HCAB² = BH × BCAC² = CH × BCAB × AC = AH × BC
Ces relations découlent de ce que les triangles ABC, HBA et HAC sont semblables (mêmes angles).
Triangles rectangles particuliers
| Triangle | Angles | Rapport des côtés |
|---|---|---|
| Rectangle isocèle (demi-carré) | 90°, 45°, 45° | 1 : 1 : √2 |
| Demi-équilatéral | 90°, 60°, 30° | 1 : √3 : 2 |
| 3-4-5 (égyptien) | 90°, ≈ 53,1°, ≈ 36,9° | 3 : 4 : 5 |
Dans le triangle 30-60-90, le côté opposé à l’angle de 30° mesure la moitié de l’hypoténuse. Ces triangles donnent les valeurs exactes de cos et sin pour 30°, 45° et 60°.
Questions fréquentes
Comment savoir si un triangle est rectangle ?
Soit on mesure l’angle à l’équerre ou au rapporteur, soit on applique la réciproque de Pythagore : le carré du plus grand côté doit être égal à la somme des carrés des deux autres.
Un triangle rectangle peut-il être équilatéral ?
Non. Un triangle équilatéral a trois angles de 60°, aucun ne peut être droit.
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?
On multiplie les deux côtés de l’angle droit et on divise par 2. Avec 3 cm et 4 cm, l’aire vaut 6 cm².
Quel est le plus grand côté d’un triangle rectangle ?
Toujours l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit.