Sciences · Mathématiques
Formules d’aires, de périmètres et de volumes
Les formules essentielles de géométrie : aire du rectangle L × l, du triangle b × h / 2, du disque π × r² ; volume du cube a³, du cylindre π × r² × h, de la sphère 4/3 × π × r³.
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Calculer la surface d’un appartement, la quantité de peinture pour un mur, le volume d’une piscine ou la contenance d’une canette : ces calculs reposent sur une poignée de formules. Cette fiche les rassemble dans des tableaux, avec les unités et des exemples. Les formules faisant intervenir le cercle utilisent le nombre π ≈ 3,14159.
Périmètres et aires des figures planes
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Carré de côté a | 4 × a | a² |
| Rectangle (longueur L, largeur l) | 2 × (L + l) | L × l |
| Triangle (côtés a, b, c ; base b, hauteur h) | a + b + c | b × h / 2 |
| Triangle rectangle (côtés de l’angle droit a et b) | a + b + c | a × b / 2 |
| Triangle équilatéral de côté a | 3 × a | (√3 / 4) × a² ≈ 0,433 × a² |
| Parallélogramme (base b, hauteur h) | somme des 4 côtés | b × h |
| Losange (diagonales D et d, côté a) | 4 × a | D × d / 2 |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | somme des 4 côtés | (B + b) × h / 2 |
| Cercle / disque de rayon r | 2 × π × r (ou π × D) | π × r² |
| Secteur circulaire d’angle α (en degrés) | 2r + 2πr × α/360 | π × r² × α / 360 |
| Hexagone régulier de côté a | 6 × a | (3√3 / 2) × a² ≈ 2,598 × a² |
Exemples
Volumes et surfaces des solides
| Solide | Volume | Aire totale (surface extérieure) |
|---|---|---|
| Cube d’arête a | a³ | 6 × a² |
| Pavé droit (L, l, h) | L × l × h | 2 × (L×l + L×h + l×h) |
| Prisme droit (aire de base B, hauteur h) | B × h | 2 bases + aire latérale (périmètre de base × h) |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | π × r² × h | 2πr² + 2πrh |
| Pyramide (aire de base B, hauteur h) | B × h / 3 | base + faces latérales |
| Cône (rayon r, hauteur h, génératrice g) | π × r² × h / 3 | πr² + πrg, avec g = √(r² + h²) |
| Sphère / boule de rayon r | (4/3) × π × r³ | 4 × π × r² |
Une pyramide ou un cône a un volume égal au tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.
Exemples
Conversions d’unités
Les unités d’aire varient de 100 en 100, les unités de volume de 1 000 en 1 000 :
| Longueur | Aire | Volume |
|---|---|---|
| 1 m = 100 cm | 1 m² = 10 000 cm² | 1 m³ = 1 000 000 cm³ |
| 1 km = 1 000 m | 1 km² = 1 000 000 m² | 1 dm³ = 1 000 cm³ |
| 1 cm = 10 mm | 1 cm² = 100 mm² | 1 cm³ = 1 000 mm³ |
Unités agraires : 1 are (a) = 100 m² ; 1 hectare (ha) = 10 000 m² = 1 hm² ; 1 km² = 100 ha. Un terrain de football mesure environ 0,7 ha.
Volumes et litres : 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³, 1 m³ = 1 000 L.
Voir les unités du Système international.
Agrandissement et réduction
Si l’on multiplie toutes les longueurs d’une figure par un coefficient k :
- les longueurs et périmètres sont multipliés par k ;
- les aires sont multipliées par k² ;
- les volumes sont multipliés par k³.
Ces propriétés découlent du théorème de Thalès.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre périmètre et aire ?
Le périmètre est la longueur du bord (on l’exprime en mètres) : c’est la quantité de clôture pour entourer un terrain. L’aire est la surface intérieure (en mètres carrés) : c’est la quantité de gazon pour le recouvrir.
Comment calculer l’aire d’une figure complexe ?
On la découpe en figures simples (rectangles, triangles, demi-disques), on calcule chaque aire, puis on additionne ; ou on calcule une figure englobante et on soustrait les parties en trop.
Combien de litres dans un mètre cube ?
1 000 litres. Un litre correspond à un cube de 10 cm de côté (1 dm³).
Comment calculer le volume d’un objet irrégulier ?
On le plonge dans un récipient gradué rempli d’eau : le volume d’eau déplacé égale le volume de l’objet. C’est le principe attribué à Archimède.