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L’aire du triangle
L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit d’une base par la hauteur correspondante : A = b × h ÷ 2. Pour un triangle rectangle, c’est le demi-produit des deux côtés de l’angle droit.
Mis à jour le 3 min de lecture
La formule de l’aire du triangle est au programme de 6e-5e. Elle s’explique simplement : tout triangle est la moitié d’un parallélogramme (ou d’un rectangle) de même base et de même hauteur. Le point délicat est d’identifier la bonne hauteur.
La formule
A = (b × h) / 2
- b : longueur d’un côté choisi comme base ;
- h : longueur de la hauteur issue du sommet opposé ;
- b et h dans la même unité ; l’aire est alors en unité carrée (cm², m²).
Pourquoi on divise par 2
On trace par les sommets des parallèles aux côtés : le triangle et sa copie retournée forment un parallélogramme de base b et de hauteur h, dont l’aire vaut b × h. Le triangle en est la moitié. Pour un triangle rectangle, c’est encore plus visible : il est la moitié d’un rectangle coupé par sa diagonale.
Méthode pas à pas
- Choisir une base, de préférence celle dont la hauteur est connue.
- Repérer la hauteur perpendiculaire à cette base (souvent marquée d’un angle droit).
- Convertir dans la même unité.
- Calculer
b × h, puis diviser par 2. - Écrire l’unité d’aire.
Exemples chiffrés
| Triangle | Données | Calcul | Aire |
|---|---|---|---|
| Quelconque | b = 8 cm, h = 5 cm | 8 × 5 ÷ 2 | 20 cm² |
| Rectangle | côtés de l’angle droit 6 m et 4 m | 6 × 4 ÷ 2 | 12 m² |
| Obtus | b = 5 cm, h extérieure = 3 cm | 5 × 3 ÷ 2 | 7,5 cm² |
| Équilatéral | côté a = 6 cm | (√3 / 4) × 6² | ≈ 15,6 cm² |
Le triangle rectangle
Les deux côtés de l’angle droit sont chacun la hauteur de l’autre : A = (côté 1 × côté 2) / 2. On ne prend jamais l’hypoténuse avec un côté de l’angle droit. Avec le théorème de Pythagore, on peut retrouver un côté manquant avant de calculer.
Le triangle obtus
Pour la base adjacente à l’angle obtus, la hauteur tombe à l’extérieur du triangle, sur le prolongement de la base. La formule reste la même : on prend la longueur du côté (pas du prolongement) et la hauteur mesurée jusqu’à la droite prolongée.
Le triangle équilatéral
Sa hauteur vaut h = (√3 / 2) × a (par Pythagore dans le demi-triangle). D’où A = (√3 / 4) × a², soit environ 0,433 × a².
Sans la hauteur : la formule de Héron
Si l’on connaît seulement les trois côtés a, b, c, on calcule le demi-périmètre p = (a + b + c) / 2, puis :
A = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
Exemple : côtés 13, 14 et 15 cm. p = 21, A = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7 056 = 84 cm². Au lycée, on utilise aussi A = ½ × a × b × sin(C) (voir trigonométrie).
Retrouver une hauteur ou une base
De A = b × h ÷ 2, on tire h = 2A ÷ b. Un triangle d’aire 30 cm² et de base 12 cm a une hauteur de 60 ÷ 12 = 5 cm.
Erreurs fréquentes
- Oublier de diviser par 2.
- Prendre un côté au lieu de la hauteur : la hauteur est perpendiculaire à la base.
- Associer une base et une hauteur qui ne vont pas ensemble.
- Utiliser l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
- Unités : écrire cm au lieu de cm², ou mélanger cm et mm.
Exercice corrigé
- Base 9 cm, hauteur 4 cm :
9 × 4 ÷ 2 =18 cm². - Triangle rectangle de côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm : l’angle droit est entre 5 et 12, donc
5 × 12 ÷ 2 =30 cm². - Base 2,4 m, hauteur 75 cm :
240 × 75 ÷ 2 = 9 000 cm²= 0,9 m². - Hauteur d’un triangle d’aire 42 m² et de base 14 m :
84 ÷ 14 =6 m.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire d’un triangle ?
A = base × hauteur ÷ 2, la hauteur étant perpendiculaire à la base choisie.
Comment calculer l’aire d’un triangle sans la hauteur ?
Avec les trois côtés, par la formule de Héron ; avec deux côtés et l’angle compris, par ½ × a × b × sin(angle).
Les trois hauteurs donnent-elles la même aire ?
Oui. Chaque produit base × hauteur est différent en apparence, mais tous valent le double de la même aire.
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?
On multiplie les deux côtés de l’angle droit et on divise par 2. L’hypoténuse n’intervient pas.