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La sphère et la boule
Le volume d’une boule de rayon r vaut 4/3 × π × r³ et l’aire de la sphère qui la limite vaut 4 × π × r², soit quatre fois l’aire d’un grand disque.
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La sphère est la forme des bulles, des gouttes en apesanteur, des planètes et des ballons. Ce n’est pas un hasard : de tous les solides de même volume, c’est celui qui a la plus petite surface. Ses formules, découvertes par Archimède au IIIe siècle av. J.-C., comptent parmi les plus beaux résultats de la géométrie antique.
La distinction est la même qu’entre cercle et disque dans le plan : on parle de l’aire de la sphère et du volume de la boule. Dans le langage courant, on dit souvent « volume d’une sphère ».
Les formules
| Grandeur | Formule | Avec le diamètre d |
|---|---|---|
| Aire de la sphère | A = 4 × π × r² | A = π × d² |
| Volume de la boule | V = 4/3 × π × r³ | V = π × d³ / 6 |
| Rayon à partir du volume | r = ∛(3V / (4π)) | |
| Demi-boule (volume) | V = 2/3 × π × r³ | |
| Aire d’une demi-sphère (sans le disque) | 2πr² |
La découverte d’Archimède
Archimède a montré qu’une boule inscrite dans un cylindre (de même rayon et de hauteur égale au diamètre) a :
- un volume égal aux deux tiers de celui du cylindre :
4/3 πr³ = 2/3 × (πr² × 2r); - une surface égale à la surface latérale du cylindre :
4πr² = 2πr × 2r.
Il était si fier de ce résultat qu’il aurait demandé qu’une sphère inscrite dans un cylindre soit gravée sur sa tombe ; Cicéron rapporte avoir retrouvé cette tombe en Sicile. Voir Archimède et le cylindre.
L’égalité des surfaces a une conséquence pratique : la projection cylindrique de Lambert, qui projette la sphère sur le cylindre parallèlement à l’équateur, conserve les aires.
Effet du rayon
L’aire varie comme le carré du rayon, le volume comme le cube. Doubler le rayon multiplie l’aire par 4 et le volume par 8. Le rapport surface/volume vaut 3 / r : il diminue quand la sphère grossit. C’est pourquoi les petites gouttes s’évaporent vite et pourquoi les grosses cellules doivent se diviser pour échanger assez avec leur milieu.
Sections d’une sphère
Toute section d’une sphère par un plan est un cercle. Si le plan est à la distance d du centre (d < r), le rayon du cercle de section vaut :
ρ = √(r² − d²)
Quand le plan passe par le centre, on obtient un grand cercle, de rayon r. Sur la Terre, l’équateur et les méridiens sont des grands cercles ; les parallèles (sauf l’équateur) sont des petits cercles. Le plus court chemin entre deux points d’une sphère suit un arc de grand cercle : c’est la route des avions sur les longs trajets. Voir équateur, tropiques et cercles polaires.
Pourquoi tant de sphères dans la nature ?
À volume égal, la sphère minimise la surface (c’est le problème isopérimétrique en dimension 3). La tension superficielle donne donc aux bulles et aux gouttes une forme sphérique, et la gravité arrondit les astres assez massifs, qui deviennent presque sphériques. La rotation les aplatit légèrement aux pôles : le rayon équatorial de la Terre dépasse son rayon polaire d’environ 21 km.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?
La sphère est la surface (la peau du ballon), la boule est le solide plein qu’elle délimite. On calcule l’aire d’une sphère et le volume d’une boule.
Comment calculer le volume d’une sphère à partir du diamètre ?
Diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis appliquer 4/3 × π × r³. Ou directement π × d³ / 6.
Pourquoi la formule du volume contient-elle 4/3 ?
Ce coefficient provient du calcul d’Archimède (deux tiers du cylindre circonscrit, dont le volume vaut 2πr³) ; on le retrouve aujourd’hui par le calcul intégral.
Une sphère a-t-elle un patron ?
Non. Une sphère ne peut pas être mise à plat sans être déchirée ou déformée, d’où les déformations inévitables des cartes du monde.