Euclide

Après la Bible, les Éléments d’Euclide sont souvent présentés comme l’un des livres les plus copiés, traduits et étudiés de l’histoire occidentale. Ils n’ont pas seulement transmis des théorèmes : ils ont imposé une méthode, la démonstration à partir d’axiomes, qui reste le modèle de toutes les mathématiques.

Ce que l’on sait de sa vie

Presque rien. Euclide aurait enseigné à Alexandrie, en Égypte, sous le règne de Ptolémée Ier (323-283 av. J.-C.), dans le foyer intellectuel créé autour du Musée et de la Bibliothèque (voir Égypte antique et Grèce antique). Les principales indications viennent du philosophe Proclus, qui écrit au Ve siècle de notre ère, soit plus de sept siècles plus tard. On ne connaît ni ses dates de naissance et de mort, ni son lieu de naissance. Il ne faut pas le confondre avec Euclide de Mégare, philosophe disciple de Socrate.

Proclus rapporte une anecdote : au roi Ptolémée, qui lui demandait s’il existait un chemin plus court que les Éléments pour apprendre la géométrie, Euclide aurait répondu qu’il n’y a pas de « voie royale » en géométrie. La même réplique est attribuée à d’autres savants ; elle est sans doute légendaire.

Les Éléments

L’ouvrage, en treize livres (chapitres), rassemble et organise les connaissances mathématiques grecques de l’époque, dont une bonne partie revient à des prédécesseurs (Pythagoriciens, Eudoxe de Cnide, Théétète). Le mérite d’Euclide est de les avoir ordonnées en un système déductif unique.

Le livre XIII démontre qu’il n’existe que cinq polyèdres réguliers convexes : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre, les « solides de Platon ».

La méthode axiomatique

Euclide part d’un petit nombre d’énoncés admis, puis démontre tout le reste, proposition après proposition, uniquement par le raisonnement (voir logique mathématique) :

• 23 définitions (point, ligne, cercle…) : « Un point est ce qui n’a pas de partie » ;
• 5 notions communes (axiomes valables pour toutes les grandeurs) : « Le tout est plus grand que la partie », « Des choses égales à une même chose sont égales entre elles » ;
• 5 postulats propres à la géométrie ;
• puis 465 propositions démontrées, selon le décompte habituel.

Les cinq postulats

1. Par deux points, on peut tracer une ligne droite.
2. Une droite finie peut être prolongée indéfiniment.
3. Avec un centre et un rayon quelconques, on peut tracer un cercle.
4. Tous les angles droits sont égaux.
5. Si une droite coupe deux droites en formant d’un même côté des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux angles droits, ces deux droites, prolongées, se rencontrent de ce côté.

Le cinquième postulat, dit postulat des parallèles, équivaut à l’énoncé plus familier (formulé par John Playfair en 1795) : par un point extérieur à une droite passe une et une seule parallèle à cette droite.

Le cinquième postulat et les géométries non euclidiennes

Moins évident que les autres, le cinquième postulat a semblé à de nombreux mathématiciens, pendant deux mille ans, devoir être démontré à partir des quatre premiers. Toutes les tentatives ont échoué. Au XIXe siècle, on comprend pourquoi : on peut le remplacer par un autre sans aboutir à une contradiction.

Sur la sphère terrestre, un triangle formé par deux méridiens et l’équateur peut avoir trois angles droits. Ces géométries ont trouvé une application majeure : la relativité générale d’Einstein décrit l’espace-temps comme courbe, donc non euclidien.

L’arithmétique d’Euclide

Les livres VII à IX contiennent des résultats fondamentaux sur les entiers :

• l’algorithme d’Euclide, qui calcule le plus grand diviseur commun de deux nombres par divisions successives : c’est l’un des plus anciens algorithmes encore utilisés (voir PGCD et PPCM et algorithme) ;
• l’infinité des nombres premiers (livre IX, proposition 20) : si l’on multiplie tous les nombres premiers d’une liste finie et qu’on ajoute 1, on obtient un nombre qui n’est divisible par aucun d’eux, donc la liste était incomplète (voir nombres premiers) ;
• le lemme d’Euclide : si un nombre premier divise un produit, il divise l’un des facteurs ;
• une formule pour construire des nombres parfaits (égaux à la somme de leurs diviseurs, comme 6 = 1 + 2 + 3 et 28).

Les autres œuvres

Euclide est aussi l’auteur, ou l’auteur présumé, des Données (géométrie), de l'Optique (étude géométrique de la vision et de la perspective), des Phénomènes (astronomie) et d’ouvrages perdus, comme les Porismes et des traités sur les coniques.

Un héritage de vingt-trois siècles

• Les Éléments sont transmis par des copies byzantines et par des traductions arabes (dès le IXe siècle à Bagdad), puis traduits en latin au XIIe siècle, notamment par Adélard de Bath. La première édition imprimée paraît à Venise en 1482 (voir âge d’or islamique).
• Ils servent de manuel de géométrie jusqu’au XIXe, voire au XXe siècle dans certains pays.
• Descartes, Spinoza (Éthique « démontrée selon l’ordre géométrique ») et Newton s’en inspirent pour exposer leurs idées.
• En 1899, David Hilbert, dans ses Fondements de la géométrie, complète le système d’Euclide, dont certains axiomes restaient implicites, par une liste de 20 axiomes.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la géométrie euclidienne ?

C’est la géométrie qui repose sur les postulats d’Euclide, en particulier le postulat des parallèles. C’est la géométrie enseignée à l’école : la somme des angles d’un triangle y vaut 180°.

Quel est le cinquième postulat d’Euclide ?

Le postulat des parallèles : par un point extérieur à une droite passe une et une seule parallèle à cette droite (dans la formulation de Playfair).

Euclide a-t-il inventé la géométrie ?

Non. Il a rassemblé et organisé de façon rigoureuse les connaissances de ses prédécesseurs, mais c’est sa présentation axiomatique qui a fait des Éléments une œuvre fondatrice.

Qu’est-ce que l’algorithme d’Euclide ?

Une méthode pour calculer le PGCD de deux nombres : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite ; le dernier reste non nul est le PGCD.