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Le cube et le pavé droit
Le volume d’un cube d’arête a vaut a³ et son aire totale 6a². Le volume d’un pavé droit vaut longueur × largeur × hauteur, et son aire totale 2(Ll + Lh + lh).
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Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est la forme des boîtes, des briques, des pièces, des aquariums et des cartons de déménagement. Le cube en est le cas particulier où toutes les arêtes sont égales : dé à jouer, glaçon, cube de Rubik. Ce sont les solides les plus simples pour calculer un volume, et ils servent à définir les unités de volume elles-mêmes : le centimètre cube est le volume d’un cube de 1 cm d’arête.
Les formules
| Grandeur | Cube (arête a) | Pavé droit (L, l, h) |
|---|---|---|
| Volume | V = a³ | V = L × l × h |
| Aire totale | A = 6a² | A = 2(L × l + L × h + l × h) |
| Aire latérale | 4a² | 2h(L + l) |
| Somme des arêtes | 12a | 4(L + l + h) |
| Diagonale d’une face | a√2 | √(L² + l²) |
| Grande diagonale | a√3 | √(L² + l² + h²) |
La grande diagonale relie deux sommets opposés en traversant le solide. On l’obtient en appliquant deux fois le théorème de Pythagore : d’abord sur une face, puis dans le triangle rectangle formé par cette diagonale et une arête verticale.
Exemples corrigés
Les patrons du cube
Un patron de cube est formé de 6 carrés assemblés de façon à pouvoir se replier en cube. Il en existe 11 différents. La forme en « croix latine » (4 carrés en ligne et un de chaque côté du deuxième) est la plus connue.
Pour vérifier un patron, on peut imaginer le pliage : deux carrés qui seraient superposés après pliage rendent le patron invalide. Une disposition de 4 carrés en carré (2 × 2) ne peut jamais appartenir à un patron de cube.
Le patron d’un pavé droit est formé de trois paires de rectangles identiques.
Agrandissement et volume
Doubler l’arête d’un cube multiplie son aire par 4 et son volume par 8. Un cube de 2 cm d’arête contient 8 cubes de 1 cm. Plus généralement, une homothétie de rapport k multiplie les aires par k² et les volumes par k³.
C’est la raison pour laquelle les petits animaux perdent plus vite leur chaleur que les grands : leur surface (par où la chaleur s’échappe) est grande par rapport à leur volume.
Propriétés géométriques du cube
- Ses 4 grandes diagonales se coupent en son centre, qui est aussi centre de symétrie.
- Il possède 9 plans de symétrie : 3 parallèles aux faces, 6 passant par des arêtes opposées.
- Coupé par un plan perpendiculaire à une grande diagonale passant par le centre, il donne un hexagone régulier.
- C’est l’un des cinq solides de Platon (l’hexaèdre régulier) et le seul à paver l’espace à lui seul.
Le problème de la duplication du cube
Construire à la règle et au compas un cube de volume double d’un cube donné, c’est construire une arête de longueur ∛2 × a. Ce problème, posé dans la Grèce antique (problème de Délos), a été démontré impossible en 1837 par Pierre-Laurent Wantzel.
Questions fréquentes
Comment calculer le volume d’un pavé droit ?
On multiplie ses trois dimensions : longueur × largeur × hauteur, exprimées dans la même unité.
Combien de litres dans un cube de 1 m de côté ?
1 m³ = 1 000 litres. Voir la conversion des unités de volume.
Quelle est la différence entre un cube et un pavé droit ?
Le cube a toutes ses arêtes égales et ses faces carrées. Le pavé droit a des faces rectangulaires de dimensions qui peuvent être différentes. Le cube est un pavé droit particulier.
Combien un cube a-t-il de faces, d’arêtes et de sommets ?
6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. On vérifie la relation d’Euler : 8 − 12 + 6 = 2 (voir les solides géométriques).