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Multiplier et diviser des fractions
Le produit de deux fractions s’obtient en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 2/3 × 4/5 = 8/15. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4.
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La multiplication de fractions est au programme de 4e, la division aussi. Paradoxalement, elles sont plus simples que l'addition : pas besoin de dénominateur commun. La seule vraie technique à maîtriser est la simplification avant le calcul, qui évite les grands nombres.
Multiplier : la méthode pas à pas
- Écrire le produit sur une seule barre de fraction : numérateurs en haut, dénominateurs en bas.
- Décomposer et simplifier les facteurs communs entre le haut et le bas, avant de calculer.
- Effectuer les produits restants.
- Vérifier que le résultat est irréductible.
Exemple : 6/35 × 14/9.
= (6 × 14)/(35 × 9) = (2 × 3 × 2 × 7)/(5 × 7 × 3 × 3). On simplifie par 3 et par 7 : = (2 × 2)/(5 × 3) = 4/15.
Sans simplification préalable, on calculerait 84/315, puis il faudrait simplifier par 21. La décomposition en facteurs premiers rend cette étape systématique.
Multiplier une fraction par un entier
On multiplie seulement le numérateur : 3 × 2/7 = 6/7. En effet, 3 = 3/1. Attention : on ne multiplie pas aussi le dénominateur, sinon la fraction ne change pas de valeur.
Pourquoi « fraction de fraction » donne un produit
Prendre les 2/3 de 3/4 d’une tablette, c’est prendre 2 parts sur 3 de trois quarts : 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. La règle de la fraction d’une quantité s’applique aussi aux fractions.
Diviser : multiplier par l’inverse
- Remplacer « ÷ c/d » par « × d/c ».
- Multiplier comme ci-dessus, en simplifiant.
Exemples :
3/4 ÷ 5/8 = 3/4 × 8/5 = 24/20 = 6/5.5 ÷ 2/3 = 5 × 3/2 = 15/2.7/9 ÷ 7 = 7/9 × 1/7 = 1/9.
Pourquoi ? Diviser par 1/2, c’est chercher combien de moitiés il y a : dans 3, il y en a 6, et 3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6.
Les fractions à étages
Une fraction dont le numérateur ou le dénominateur est lui-même une fraction se calcule comme une division : (2/3) / (4/9) = 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2.
Les signes
La règle des signes des nombres relatifs s’applique : −2/5 × 3/4 = −6/20 = −3/10 ; (−1/2) ÷ (−3/4) = 1/2 × 4/3 = 2/3.
Récapitulatif des quatre opérations
| Opération | Règle | Dénominateur commun ? |
|---|---|---|
| Addition | a/d + b/d = (a + b)/d | Oui |
| Soustraction | a/d − b/d = (a − b)/d | Oui |
| Multiplication | a/b × c/d = ac/bd | Non |
| Division | a/b ÷ c/d = a/b × d/c | Non |
Erreurs fréquentes
- Mettre au même dénominateur avant de multiplier : inutile, et le résultat reste juste mais compliqué.
- Inverser la mauvaise fraction : dans
a/b ÷ c/d, c’est le diviseurc/dque l’on inverse. - Multiplier numérateur et dénominateur par l’entier :
3 × 2/7 ≠ 6/21. - Simplifier dans une somme : on ne simplifie que des facteurs. Dans
(2 + 3)/3, on ne peut pas barrer les 3. - Diviser par zéro : une fraction nulle n’a pas d’inverse.
Exercice corrigé
3/5 × 10/9=30/45= 2/3 (ou en simplifiant :3 × 2 × 5 / (5 × 3 × 3)).4 × 5/12=20/12= 5/3.2/7 ÷ 4/21=2/7 × 21/4 = 42/28= 3/2.(−5/6) × 9/10= −3/4.- Combien de bouteilles de 3/4 L remplit-on avec 6 L ?
6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 =8 bouteilles.
Questions fréquentes
Comment multiplier deux fractions ?
Numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur : 2/3 × 5/7 = 10/21. On simplifie si possible, de préférence avant de calculer.
Pourquoi diviser par une fraction revient-il à multiplier par son inverse ?
Parce que diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse : a ÷ b = a × 1/b. L’inverse de c/d étant d/c, on obtient la règle.
Faut-il un dénominateur commun pour multiplier ?
Non. Le dénominateur commun n’est nécessaire que pour additionner ou soustraire.
Multiplier par une fraction agrandit-il toujours ?
Non. Multiplier par une fraction inférieure à 1 rend le nombre plus petit : 10 × 1/2 = 5. Diviser par une fraction inférieure à 1 l’agrandit.