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Opposé et inverse d’un nombre
L’opposé d’un nombre a est le nombre −a qui, ajouté à a, donne 0. L’inverse d’un nombre non nul a est le nombre 1/a qui, multiplié par a, donne 1. L’opposé de 4 est −4, son inverse est 1/4.
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Opposé et inverse sont deux notions de collège (5e pour l’opposé, 4e pour l’inverse) que l’on confond souvent, parce que les deux « retournent » un nombre. L’un est lié à l’addition, l’autre à la multiplication. Les distinguer est indispensable pour résoudre des équations et calculer avec des fractions.
Tableau comparatif
| Nombre | Opposé | Inverse |
|---|---|---|
| 5 | −5 | 1/5 = 0,2 |
| −3 | 3 | −1/3 |
| 0,5 | −0,5 | 2 |
| 2/7 | −2/7 | 7/2 |
| −4/9 | 4/9 | −9/4 |
| 1 | −1 | 1 |
| 0 | 0 | n’existe pas |
L’opposé
- On change le signe : l’opposé de 7 est −7, celui de −2,5 est 2,5.
- Sur la droite graduée, deux opposés sont symétriques par rapport à 0 : ils ont la même distance à zéro (même valeur absolue).
- Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé :
8 − (−3) = 8 + 3 = 11. Voir les nombres relatifs. - L’opposé d’une somme est la somme des opposés :
−(a + b) = −a − b. C’est la règle de suppression des parenthèses précédées d’un signe moins.
L’inverse
- Pour une fraction, on retourne : l’inverse de
a/bestb/a(a et b non nuls). - Pour un entier n, l’inverse est
1/n. - Pour un décimal, on écrit
1/xpuis on calcule si possible : l’inverse de 0,25 est1/0,25 = 4. - L’inverse garde le signe : l’inverse de −2 est −1/2, car
(−2) × (−1/2) = 1. - Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :
6 ÷ (2/3) = 6 × 3/2 = 9. Voir multiplier et diviser des fractions.
Le cas de zéro
- L’opposé de 0 est 0, car
0 + 0 = 0. - 0 n’a pas d’inverse : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1. C’est la raison profonde de l’interdiction de la division par zéro.
Les nombres égaux à leur opposé ou à leur inverse
- Seul 0 est égal à son opposé.
- Seuls 1 et −1 sont égaux à leur inverse.
Méthode pour vérifier
- Opposé : additionner les deux nombres. Le résultat doit être 0.
- Inverse : multiplier les deux nombres. Le résultat doit être 1.
Exemple : 1,25 et 0,8 sont-ils inverses ? 1,25 × 0,8 = 1. Oui.
Au lycée : la fonction inverse
La fonction qui à x associe 1/x est la fonction inverse, définie pour x ≠ 0. Sa courbe est une hyperbole. Plus un nombre positif est grand, plus son inverse est petit.
Erreurs fréquentes
- Inverser le signe pour trouver l’inverse : l’inverse de 3 n’est pas −3 (c’est l’opposé) ni −1/3.
- Croire que l’opposé est toujours négatif : l’opposé de −6 est 6.
- Écrire l’inverse de 0 ou le chercher à la calculatrice (« erreur »).
- Inverser seulement le numérateur : l’inverse de 3/5 est 5/3, pas 1/3 sur 5.
- Confondre −a et a⁻¹ dans les notations.
Exercice corrigé
- Opposé et inverse de 8 : −8 et 1/8.
- Opposé et inverse de −3/4 : 3/4 et −4/3.
- Inverse de 0,2 :
1/0,2 =5. - Inverse de −1/6 : −6.
- 2/3 et 1,5 sont-ils inverses ?
2/3 × 3/2 = 1, oui. - Résoudre
(3/4) × x = 6: on multiplie par l’inverse de 3/4,x = 6 × 4/3 =8.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre opposé et inverse ?
L’opposé est lié à l’addition (somme nulle), l’inverse à la multiplication (produit égal à 1). L’opposé de 2 est −2, son inverse 1/2.
Pourquoi zéro n’a-t-il pas d’inverse ?
Parce que 0 multiplié par n’importe quel nombre donne 0, jamais 1.
Quel est l’inverse d’un nombre négatif ?
Un nombre négatif : l’inverse de −5 est −1/5. Le produit de deux nombres de même signe est positif, et il doit valoir +1.
Comment trouver l’inverse d’un nombre décimal ?
On calcule 1 ÷ x, ou on l’écrit en fraction puis on la retourne : 0,4 = 2/5, donc son inverse est 5/2 = 2,5.