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Le périmètre
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Pour un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés ; pour un rectangle, P = 2 × (L + l) ; pour un cercle, P = 2 × π × r.
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Le périmètre est introduit au CM1 et sert toute la scolarité. C’est une longueur : il se mesure en mètres, centimètres, kilomètres. On le confond souvent avec l’aire, qui mesure une surface. La fiche formules d’aires et de volumes rassemble toutes les formules ; celle-ci détaille la méthode de calcul du périmètre.
Les formules
| Figure | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Polygone quelconque | somme des côtés | 3 + 4 + 5 = 12 cm |
| Carré de côté c | P = 4 × c | c = 6 cm → 24 cm |
| Rectangle (L, l) | P = 2 × (L + l) | 8 cm et 3 cm → 22 cm |
| Losange de côté c | P = 4 × c | c = 5 cm → 20 cm |
| Triangle équilatéral | P = 3 × c | c = 7 cm → 21 cm |
| Cercle de rayon r | P = 2 × π × r | r = 5 cm → ≈ 31,4 cm |
| Cercle de diamètre d | P = π × d | d = 10 cm → ≈ 31,4 cm |
Les formules du carré et du rectangle ne sont que des raccourcis de la somme des côtés : un rectangle a deux longueurs et deux largeurs. Voir carré, rectangle, losange.
Méthode pas à pas
- Identifier la figure et tous les segments ou arcs qui forment son contour.
- Vérifier les unités : tout convertir dans la même unité (convertir des longueurs).
- Appliquer la formule ou additionner les longueurs.
- Écrire l’unité de longueur dans le résultat (cm, m…), jamais une unité d’aire.
Périmètre d’une figure composée
On suit le contour extérieur et on additionne uniquement les longueurs qui en font partie, sans compter les segments intérieurs.
Exemple : un terrain rectangulaire de 20 m sur 12 m terminé par un demi-cercle de diamètre 12 m sur un petit côté. Contour : deux longueurs (20 m), un petit côté (12 m) et un demi-cercle (π × 12 ÷ 2 ≈ 18,85 m). Total : 20 + 20 + 12 + 18,85 ≈ 70,85 m. Le côté recouvert par le demi-cercle ne compte pas.
Retrouver une longueur à partir du périmètre
- Carré de périmètre 36 cm :
c = 36 ÷ 4 = 9 cm. - Rectangle de périmètre 30 cm et de longueur 9 cm : demi-périmètre
15 cm, doncl = 15 − 9 = 6 cm. - Cercle de périmètre 50 cm :
r = 50 ÷ (2π) ≈ 7,96 cm.
Périmètre et aire ne varient pas ensemble
Deux figures de même périmètre peuvent avoir des aires très différentes. Avec 24 cm de contour :
| Rectangle | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| 11 cm × 1 cm | 24 cm | 11 cm² |
| 8 cm × 4 cm | 24 cm | 32 cm² |
| 6 cm × 6 cm (carré) | 24 cm | 36 cm² |
À périmètre fixé, le carré est le rectangle d’aire maximale, et le disque fait encore mieux parmi toutes les figures. En cas d'agrandissement de rapport k, le périmètre est multiplié par k (et l’aire par k²).
Erreurs fréquentes
- Confondre périmètre et aire : le périmètre s’exprime en cm, l’aire en cm².
- Écrire P = L × l pour un rectangle : c’est l’aire.
- Oublier des côtés non marqués : sur une figure en L, il faut déduire les longueurs manquantes.
- Compter des segments intérieurs dans une figure composée.
- Mélanger rayon et diamètre dans la formule du cercle.
Exercice corrigé
- Rectangle de 12,5 m sur 7 m :
P = 2 × (12,5 + 7) =39 m. - Triangle de côtés 6 cm, 80 mm et 1 dm :
6 + 8 + 10 =24 cm. - Roue de vélo de diamètre 70 cm :
P = π × 70 ≈219,9 cm, soit environ 2,2 m par tour. - Clôturer un champ carré de 45 m de côté avec un portail de 3 m :
4 × 45 − 3 =177 m de grillage.
Questions fréquentes
Comment calculer le périmètre d’un rectangle ?
On additionne longueur et largeur, puis on multiplie par 2 : P = 2 × (L + l). Pour 5 cm sur 3 cm, P = 16 cm.
Quelle est la différence entre périmètre et aire ?
Le périmètre mesure le tour d’une figure (une longueur, en m) ; l’aire mesure la surface intérieure (en m²). Une clôture correspond au périmètre, une pelouse à l’aire.
Comment calculer le périmètre d’un cercle ?
P = 2πr ou P = πd. Pour un rayon de 3 cm, P ≈ 18,85 cm. Voir le cercle et le disque et le nombre π.
Le périmètre a-t-il une unité ?
Oui, une unité de longueur. Si les côtés sont en mètres, le périmètre est en mètres.