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Les développements limités
Un développement limité approche une fonction par un polynôme au voisinage d’un point, avec une erreur négligeable devant la dernière puissance. Par exemple, près de 0, eˣ = 1 + x + x²/2 + o(x²).
Mis à jour le 4 min de lecture
La tangente donne une approximation affine d’une fonction ; le développement limité (DL) va plus loin en ajoutant des termes en x², x³… pour coller encore mieux à la courbe. C’est un outil central de l’enseignement supérieur (classes préparatoires, licence) pour calculer des limites délicates, étudier la position d’une courbe par rapport à sa tangente ou estimer des erreurs. Il repose sur la formule de Taylor, publiée par Brook Taylor en 1715.
La formule de Taylor-Young
Si f est n fois dérivable en a, alors :
f(a + h) = f(a) + f′(a)h + f″(a)h²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)hⁿ/n! + o(hⁿ).
- À l’ordre 1, on retrouve l’approximation par la tangente :
f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h(voir l'équation de la tangente). - Les coefficients sont les dérivées successives divisées par des factorielles.
Les DL usuels en 0
| Fonction | Développement limité en 0 |
|---|---|
eˣ | 1 + x + x²/2! + x³/3! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ) |
1/(1 − x) | 1 + x + x² + … + xⁿ + o(xⁿ) |
1/(1 + x) | 1 − x + x² − … + (−1)ⁿxⁿ + o(xⁿ) |
ln(1 + x) | x − x²/2 + x³/3 − … + (−1)ⁿ⁺¹xⁿ/n + o(xⁿ) |
sin x | x − x³/3! + x⁵/5! − … + o(x²ⁿ⁺¹) |
cos x | 1 − x²/2! + x⁴/4! − … + o(x²ⁿ) |
(1 + x)ᵅ | 1 + αx + α(α − 1)x²/2! + o(x²) |
√(1 + x) | 1 + x/2 − x²/8 + o(x²) |
Ces formules prolongent les séries de référence : sin x est impaire et ne contient que des puissances impaires, cos x est paire et ne contient que des puissances paires.
Calculer avec les DL
Somme et produit
On additionne ou multiplie les parties régulières, en ne gardant que les termes de degré ≤ n.
Composition
Remplacer x
Application 1 : lever une forme indéterminée
Les règles classiques des limites ne suffisent pas pour ces formes 0/0 ; les DL les résolvent mécaniquement.
Application 2 : position par rapport à la tangente
Le premier terme non nul après la partie affine donne la position de la courbe.
Si ce premier terme est de degré impair (comme −x³/6 pour sin x), la courbe traverse sa tangente : point d’inflexion.
Application 3 : approximations numériques
| Approximation (x petit) | Ordre | Erreur pour x = 0,1 |
|---|---|---|
sin x ≈ x | 2 | environ 0,000 17 |
cos x ≈ 1 − x²/2 | 3 | environ 0,000 004 |
eˣ ≈ 1 + x + x²/2 | 2 | environ 0,000 17 |
√(1 + x) ≈ 1 + x/2 | 1 | environ 0,001 2 |
En physique, ces approximations permettent de linéariser des équations : pendule simple aux petits angles (sin θ ≈ θ), énergie relativiste mc²/√(1 − v²/c²) ≈ mc² + ½mv² pour des vitesses faibles devant la lumière (voir la relativité).
Erreurs fréquentes
- Tronquer trop tôt : pour une limite en
x²au dénominateur, il faut développer le numérateur au moins à l’ordre 2. - Garder des termes de degré supérieur à n dans un produit : ils sont absorbés par
o(xⁿ). - Oublier les factorielles : le terme en x³ de eˣ est
x³/6, pasx³/3. - Développer en 0 une fonction étudiée en a ≠ 0 : poser d’abord
x = a + h.
Questions fréquentes
À quoi sert un développement limité ?
À approcher une fonction par un polynôme près d’un point, pour calculer des limites indéterminées, étudier la position d’une courbe par rapport à sa tangente ou faire des approximations numériques.
Quelle différence entre développement limité et série entière ?
Un DL est une approximation locale à un ordre fini, avec un reste négligeable. Une série entière est une somme infinie qui peut égaler la fonction sur tout un intervalle, comme celle de eˣ sur ℝ.
Que signifie o(xⁿ) ?
Une quantité qui, divisée par xⁿ, tend vers 0 quand x tend vers 0 : elle est « infiniment plus petite » que xⁿ.
Toute fonction a-t-elle un développement limité ?
Non. Il faut une régularité suffisante : une fonction n fois dérivable en a a un DL d’ordre n en a. √x n’a pas de DL d’ordre 1 en 0, car elle n’y est pas dérivable.