Les probabilités conditionnelles

Une information nouvelle change les probabilités. La chance qu’il pleuve n’est pas la même si le ciel est couvert ; celle d’être malade n’est pas la même après un test positif. Les probabilités conditionnelles formalisent cette mise à jour. Elles sont au cœur du raisonnement médical, de l’assurance, des filtres anti-spam et de nombreux paradoxes. Les bases (univers, événements, formule de Laplace) sont présentées dans la fiche probabilités.

Comprendre la formule

On part d’un groupe de 100 élèves :

On choisit un élève au hasard. Soit S « fait du sport » et F « est une fille ».

• P(S) = 55 / 100 = 0,55.
• P(S ∩ F) = 30 / 100 = 0,30.
• P_F(S) = 30 / 50 = 0,60 : parmi les filles, 60 % font du sport.
• P_S(F) = 30 / 55 ≈ 0,545 : parmi les sportifs, environ 54,5 % sont des filles.

P_F(S) et P_S(F) sont différentes : l’ordre compte. Confondre les deux est l’erreur la plus fréquente, et la plus lourde de conséquences (voir plus bas).

La formule des probabilités composées

En réarrangeant la définition :

P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A) = P(A) × P_A(B)

C’est la règle qui justifie la multiplication le long des branches d’un arbre.

L’arbre pondéré

Un arbre représente une expérience en plusieurs étapes. Règles :

1. La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
3. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
4. Les probabilités inscrites sur les branches du deuxième niveau sont des probabilités conditionnelles.

La formule des probabilités totales

Si B1, B2, …, Bn forment une partition de l’univers (ils sont incompatibles deux à deux et leur réunion est l’univers) :

P(A) = P(B1) × P_B1(A) + P(B2) × P_B2(A) + … + P(Bn) × P_Bn(A)

C’est la formule utilisée ci-dessus pour obtenir 3,2 %. Elle conduit directement à la formule de Bayes, qui permet d'« inverser » le conditionnement : P_A(B) = P(B) × P_B(A) / P(A). Voir le théorème de Bayes.

L’indépendance

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre :

P_B(A) = P(A), ce qui équivaut à P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Ne pas confondre indépendants et incompatibles : deux événements incompatibles (qui ne peuvent pas se produire ensemble) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque la réalisation de l’un rend l’autre impossible.

Les pièges classiques

• L’inversion du conditionnel (« erreur du procureur ») : la probabilité d’observer un indice si l’accusé est innocent n’est pas la probabilité qu’il soit innocent compte tenu de l’indice.
• Le dépistage : avec une maladie rare, la plupart des tests positifs peuvent être de faux positifs (voir le théorème de Bayes).
• Le paradoxe de Monty Hall : l’information donnée par l’animateur change les probabilités (voir le problème de Monty Hall).
• Le sophisme du joueur : après cinq « pile », la probabilité de « face » reste 1/2, car les lancers sont indépendants (voir les biais cognitifs).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre P(A ∩ B) et P_B(A) ?

P(A ∩ B) est la probabilité que A et B se produisent tous les deux, rapportée à l’ensemble des issues. P_B(A) est la probabilité de A rapportée aux seules issues où B est réalisé. On passe de l’une à l’autre en divisant par P(B).

Comment lire une probabilité conditionnelle dans un arbre ?

Les nombres portés par les branches du second niveau sont des probabilités conditionnelles : ils supposent réalisé l’événement du nœud dont ils partent.

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

On vérifie si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Si l’égalité est vraie, ils sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

P(A | B) est-il égal à P(B | A) ?

En général non. Les deux sont égaux seulement si P(A) = P(B). Dans l’exemple des élèves, 60 % des filles font du sport, mais 54,5 % des sportifs sont des filles.