La factorielle

De combien de façons peut-on ranger 10 livres sur une étagère ? Il y a 10 choix pour le premier, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième… soit 10 × 9 × 8 × … × 1 = 3 628 800. Ce produit est la factorielle de 10, notée 10!. La notation avec un point d’exclamation a été introduite par le mathématicien strasbourgeois Christian Kramp en 1808.

Tableau des premières valeurs

52! — le nombre d’ordres possibles d’un jeu de 52 cartes — vaut environ 8,07 × 10⁶⁷. Un jeu bien mélangé est donc presque certainement dans un ordre qui n’a jamais existé.

Pourquoi 0! = 1 ?

Trois raisons concordent :

• Récurrence : 1! = 1 × 0!, donc 0! = 1! / 1 = 1.
• Dénombrement : il y a exactement une façon de ranger zéro objet (ne rien faire).
• Cohérence des formules : la formule des coefficients binomiaux n! / (k!(n − k)!) donne C(n, 0) = 1 seulement si 0! = 1.

Calculer avec des factorielles

La clé est de simplifier avant de calculer, car les factorielles deviennent vite énormes.

Attention : (2n)! n’est pas 2 × n!, et (a + b)! n’est pas a! + b!. Par exemple 4! = 24 alors que 2 × 2! = 4.

À quoi sert la factorielle ?

Les permutations

Le nombre de façons d’ordonner n objets distincts est n!. Six personnes autour d’une file d’attente : 6! = 720 ordres.

Les arrangements et combinaisons

• Choisir et ordonner k objets parmi n (podium de 3 parmi 10 coureurs) : n! / (n − k)! = 10 × 9 × 8 = 720.
• Choisir k objets parmi n sans ordre (3 délégués parmi 10) : n! / (k!(n − k)!) = 120. C’est le coefficient binomial (voir le triangle de Pascal).

Ces formules servent au calcul de probabilités : la probabilité de trouver les 5 bons numéros parmi 49 dans un tirage est de 1 sur C(49, 5) = 1 906 884.

Les séries et le nombre e

Les factorielles apparaissent dans les développements en série : e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … ≈ 2,718 (voir le nombre e et les séries). Leur croissance rapide assure la convergence de ces sommes.

Une croissance plus rapide que l’exponentielle

Pour n assez grand, aⁿ < n! < nⁿ pour tout a fixé (voir les puissances). La formule de Stirling donne une approximation : n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Pour n = 10, elle donne environ 3 598 696, à moins de 1 % de la valeur exacte.

En informatique, un algorithme qui essaie toutes les permutations (comme la recherche exhaustive du plus court trajet passant par n villes) a un coût en n! : il devient inutilisable dès quelques dizaines de villes.

Propriétés utiles

• n! est divisible par tous les entiers de 1 à n.
• À partir de 5!, toute factorielle se termine par 0 ; 10! se termine par deux zéros, 25! par six zéros (on compte les facteurs 5).
• n! + 2, n! + 3, …, n! + n sont tous composés : il existe des intervalles aussi longs qu’on veut sans nombre premier.

Erreurs fréquentes

• Croire que 0! = 0 : c’est 1.
• Développer entièrement avant de simplifier un quotient.
• Confondre n! et nⁿ : 3! = 6 mais 3³ = 27.
• Définir la factorielle d’un négatif : (−1)! n’existe pas (la fonction gamma prolonge la factorielle aux réels, mais pas aux entiers négatifs).

Questions fréquentes

Que vaut 0 factorielle ?

0! = 1, par convention cohérente avec la récurrence n! = n × (n − 1)! et avec le dénombrement.

Comment calculer une factorielle sur calculatrice ?

La plupart des calculatrices scientifiques ont une touche x! ou n!, souvent dans un menu probabilités. Au-delà de 69!, beaucoup affichent un dépassement car le résultat dépasse 10¹⁰⁰.

Combien de zéros à la fin de 100! ?

24 : on compte les multiples de 5 (20) et de 25 (4), chaque facteur 5 s’associant à un facteur 2.

Existe-t-il une factorielle des nombres décimaux ?

Pas au sens élémentaire. La fonction gamma d’Euler la prolonge : Γ(n + 1) = n!, et par exemple Γ(1/2) = √π.