Sciences · Mathématiques
Décomposition en facteurs premiers
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5. Cette écriture existe et est unique pour tout entier supérieur à 1.
Mis à jour le 3 min de lecture
Les nombres premiers sont les « atomes » de la multiplication : tout entier se construit en multipliant des nombres premiers, et d’une seule manière. Cette décomposition est l’outil le plus puissant de l’arithmétique élémentaire : elle donne les diviseurs d’un nombre, son PGCD et son PPCM avec un autre, et permet de simplifier fractions et racines carrées.
La méthode pas à pas
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible (2, puis 3, 5, 7, 11…), on recommence avec le quotient, jusqu’à obtenir 1.
On présente souvent le calcul en deux colonnes : les quotients successifs à gauche, les diviseurs premiers à droite. Les critères de divisibilité indiquent rapidement si 2, 3 ou 5 conviennent.
Quand s’arrêter ? Si aucun nombre premier inférieur ou égal à √n ne divise n, alors n est lui-même premier. Pour 97 : ni 2, 3, 5 ni 7 ne le divisent et 11² = 121 > 97, donc 97 est premier.
Exemples à connaître
| Nombre | Décomposition |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 60 | 2² × 3 × 5 |
| 100 | 2² × 5² |
| 210 | 2 × 3 × 5 × 7 |
| 1 000 | 2³ × 5³ |
| 1 024 | 2¹⁰ |
| 2 024 | 2³ × 11 × 23 |
Les applications
Trouver tous les diviseurs
Les diviseurs de 2³ × 3² × 5 sont les produits 2^a × 3^b × 5^c avec a de 0 à 3, b de 0 à 2 et c de 0 à 1 : 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs (voir multiples et diviseurs).
Calculer PGCD et PPCM
- PGCD : produit des facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant.
- PPCM : produit de tous les facteurs, chacun avec le plus grand exposant.
Voir PGCD et PPCM pour l’algorithme d’Euclide, plus rapide sur les grands nombres.
Simplifier une fraction
84/360 = (2² × 3 × 7) / (2³ × 3² × 5) = 7 / (2 × 3 × 5) = 7/30. On barre les facteurs communs, et la fraction obtenue est irréductible (voir les fractions).
Simplifier une racine carrée
√360 = √(2² × 3² × 2 × 5) = 2 × 3 × √10 = 6√10. Les facteurs à exposant pair « sortent » de la racine (voir la racine carrée).
Reconnaître un carré ou un cube
Un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs (144 = 2⁴ × 3²), un cube parfait s’ils sont tous multiples de 3 (216 = 2³ × 3³).
Pourquoi c’est difficile pour les grands nombres
Multiplier deux grands nombres premiers est instantané pour un ordinateur ; retrouver ces facteurs à partir du produit est, pour des nombres de plusieurs centaines de chiffres, hors de portée des algorithmes connus sur ordinateur classique. Cette asymétrie fonde le chiffrement RSA, utilisé notamment pour sécuriser des échanges sur Internet (voir le chiffrement HTTPS).
Erreurs fréquentes
- Laisser un facteur non premier :
360 = 4 × 9 × 10n’est pas une décomposition en facteurs premiers. - Inclure 1 : 1 n’est pas premier et ne figure jamais dans la décomposition.
- Oublier le dernier facteur : on continue jusqu’à obtenir un quotient égal à 1.
Questions fréquentes
Comment décomposer un nombre en facteurs premiers rapidement ?
On divise par 2 tant que c’est possible, puis par 3, 5, 7… en s’aidant des critères de divisibilité, et on s’arrête quand le quotient est premier.
Pourquoi la décomposition est-elle unique ?
C’est le théorème fondamental de l’arithmétique, démontré grâce au lemme d’Euclide : si un nombre premier divise un produit, il divise l’un des facteurs.
Comment savoir qu’un grand nombre est premier ?
On teste sa divisibilité par tous les nombres premiers jusqu’à sa racine carrée ; pour de très grands nombres, on utilise des tests probabilistes ou spécialisés.
Peut-on décomposer 1 ou 0 ?
Non. 1 correspond au produit vide (aucun facteur) et 0 n’a pas de décomposition, puisqu’il est divisible par tous les nombres.