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Les nombres parfaits
Un nombre parfait est un entier égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même. Les premiers sont 6 (1 + 2 + 3), 28, 496 et 8 128. Tous ceux que l’on connaît sont pairs.
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Les Grecs anciens voyaient dans certains nombres une harmonie particulière : ceux qui sont exactement « reconstitués » par leurs parties. Les nombres parfaits ont fasciné de Pythagore à Euler, et posent encore deux des plus vieilles questions ouvertes des mathématiques.
Les premiers nombres parfaits
| Rang | Nombre parfait | Vérification ou forme | Forme 2ᵖ⁻¹ × (2ᵖ − 1) |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 1 + 2 + 3 | 2 × 3 |
| 2 | 28 | 1 + 2 + 4 + 7 + 14 | 4 × 7 |
| 3 | 496 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 | 16 × 31 |
| 4 | 8 128 | Somme des 13 diviseurs stricts | 64 × 127 |
| 5 | 33 550 336 | Découvert au XVe siècle | 4 096 × 8 191 |
Ils sont très rares : seulement quatre sont inférieurs à 10 000, et le cinquième a déjà huit chiffres. Les quatre premiers étaient connus des Grecs.
Le théorème d’Euclide-Euler
Euclide démontre dans ses Éléments (livre IX) que si 2ᵖ − 1 est un nombre premier, alors 2ᵖ⁻¹ × (2ᵖ − 1) est parfait. Près de deux mille ans plus tard, Leonhard Euler prouve la réciproque pour les nombres pairs : tout nombre parfait pair est de cette forme.
Il y a donc exactement autant de nombres parfaits pairs que de nombres premiers de Mersenne. Une cinquantaine sont connus ; ils sont découverts par le calcul distribué (projet GIMPS), et les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne de plusieurs dizaines de millions de chiffres (voir les nombres premiers).
Pourquoi la formule marche
Avec q = 2ᵖ − 1 premier, les diviseurs de n = 2ᵖ⁻¹ × q sont les 2ᵏ et les 2ᵏ × q pour k de 0 à p − 1 (voir la décomposition en facteurs premiers). Leur somme vaut (1 + 2 + … + 2ᵖ⁻¹)(1 + q) = (2ᵖ − 1) × 2ᵖ = 2n. C’est exactement la condition d’un nombre parfait.
Propriétés remarquables
- Tout nombre parfait pair est un nombre triangulaire :
28 = 1 + 2 + … + 7,496 = 1 + 2 + … + 31. - Tout nombre parfait pair, sauf 6, est une somme de cubes impairs consécutifs :
28 = 1³ + 3³. - Les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou par 28.
- La somme des inverses de tous les diviseurs d’un nombre parfait vaut 2 : pour 6,
1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2.
Les questions ouvertes
- Existe-t-il une infinité de nombres parfaits ? C’est équivalent, pour les pairs, à l’infinité des nombres premiers de Mersenne. Personne ne le sait.
- Existe-t-il un nombre parfait impair ? Aucun n’a été trouvé. On a démontré que, s’il en existe un, il est gigantesque (bien au-delà de 10¹⁵⁰⁰) et doit satisfaire de nombreuses conditions, mais aucune ne mène à une contradiction.
Les cousins : nombres amicaux
Deux nombres sont amicaux si chacun est la somme des diviseurs stricts de l’autre. Le plus petit couple, connu des pythagoriciens, est (220, 284) : les diviseurs stricts de 220 ont pour somme 284, et ceux de 284 ont pour somme 220. Un nombre parfait est « ami avec lui-même ».
Erreurs fréquentes
- Inclure le nombre lui-même dans la somme : on ne prend que les diviseurs stricts.
- Croire qu’il en existe beaucoup : il n’y en a que quatre sous 10 000.
- Penser que 2ᵖ − 1 est premier dès que p est premier : c’est faux pour p = 11.
Questions fréquentes
Quel est le plus petit nombre parfait ?
6, car ses diviseurs stricts 1, 2 et 3 ont pour somme 6.
Combien de nombres parfaits connaît-on ?
Autant que de nombres premiers de Mersenne, soit une cinquantaine aujourd’hui. Tous sont pairs.
Pourquoi appelle-t-on ces nombres « parfaits » ?
Le terme vient des mathématiciens grecs, qui y voyaient un équilibre exact entre le nombre et ses parties. Le mot n’a pas de sens technique au-delà de cette définition.
Existe-t-il des nombres parfaits impairs ?
On n’en connaît aucun et on ne sait pas démontrer qu’il n’en existe pas : c’est l’un des plus anciens problèmes ouverts des mathématiques.