Construire un triangle

La construction de triangles est au programme de 6e et de 5e. Elle demande de choisir le bon instrument selon les données, de faire d’abord une figure à main levée codée, et de vérifier que le triangle existe. Les différents triangles (isocèle, rectangle, équilatéral) sont présentés dans la fiche types de triangles.

Avant de construire : vérifier l’existence

Pour les angles, la somme des angles d’un triangle vaut 180° : deux angles de 100° et 90° rendent la construction impossible.

Cas 1 : on connaît les trois côtés (règle et compas)

Exemple : ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm.

1. Tracer le segment [AB] de 6 cm à la règle.
2. Ouvrir le compas de 4 cm, pointe sur A, tracer un arc de cercle.
3. Ouvrir le compas de 5 cm, pointe sur B, tracer un arc qui coupe le premier.
4. Le point d’intersection est C. Tracer [AC] et [BC].

Les deux arcs se coupent en deux points, de part et d’autre de [AB] : on obtient deux triangles symétriques, tous deux corrects. On garde les arcs de construction visibles.

Cas 2 : deux côtés et l’angle compris (règle et rapporteur)

Exemple : AB = 7 cm, AC = 5 cm, angle BAC = 50°.

1. Tracer [AB] de 7 cm.
2. Placer le centre du rapporteur sur A, le zéro sur [AB], et marquer 50° (voir mesurer un angle).
3. Tracer la demi-droite d’origine A passant par cette marque.
4. Y reporter 5 cm à partir de A : c’est le point C. Tracer [BC].

Cas 3 : un côté et les deux angles adjacents

Exemple : AB = 8 cm, angles BAC = 40° et ABC = 65°.

1. Tracer [AB].
2. Construire en A un angle de 40°, en B un angle de 65°, du même côté de [AB].
3. Les deux demi-droites se coupent en C.

Le troisième angle vaut forcément 180 − 40 − 65 = 75° : on peut s’en servir pour vérifier.

Cas particuliers

• Triangle isocèle de base 6 cm et de côtés égaux 5 cm : cas 1, avec deux fois la même ouverture de compas.
• Triangle équilatéral de côté 4 cm : même ouverture de compas depuis les deux extrémités.
• Triangle rectangle : tracer l’angle droit à l’équerre, puis reporter les deux côtés de l’angle droit. Si l’on connaît l’hypoténuse et un côté, on peut utiliser le cercle de diamètre l’hypoténuse : tout point de ce cercle forme un angle droit (voir angle inscrit).

Erreurs fréquentes

• Ne pas vérifier l’inégalité triangulaire et chercher en vain l’intersection des arcs.
• Lire la mauvaise graduation du rapporteur (intérieure au lieu d’extérieure) : 50° devient 130°.
• Mal centrer le rapporteur sur le sommet.
• Effacer les traits de construction : ils prouvent la méthode.
• Construire l’angle du mauvais côté dans le cas 3.

Exercice corrigé

1. Peut-on construire un triangle de côtés 2,5 cm, 4 cm et 6 cm ? 2,5 + 4 = 6,5 > 6 : oui.
2. Et de côtés 3 cm, 3 cm et 7 cm ? 3 + 3 = 6 < 7 : non.
3. Construire EFG avec EF = 5 cm, FG = 6 cm, angle EFG = 120° : tracer [EF], angle de 120° en F, reporter 6 cm sur la demi-droite. Le triangle est obtus en F.
4. Un triangle a deux angles de 35° et 55°. Le troisième vaut 90° : il est rectangle.

Questions fréquentes

Comment construire un triangle avec un compas ?

On trace un premier côté, puis on trace deux arcs de cercle depuis ses extrémités, de rayons égaux aux deux autres côtés. Leur intersection donne le troisième sommet.

Comment savoir si un triangle est constructible ?

On vérifie que le plus grand côté est strictement plus petit que la somme des deux autres, et, si des angles sont donnés, que leur somme est inférieure à 180°.

Combien de données faut-il pour construire un triangle ?

Trois, dont au moins une longueur. Trois angles seuls ne suffisent pas : ils déterminent la forme mais pas la taille.

Deux côtés et un angle non compris suffisent-ils ?

Pas toujours : selon les valeurs, on peut obtenir zéro, un ou deux triangles différents. C’est le cas ambigu étudié en trigonométrie.