Sciences · Mathématiques
Pavages et frises
Un pavage recouvre tout le plan avec des motifs, sans trou ni chevauchement ; une frise répète un motif le long d’une bande. Tous deux s’obtiennent par translations, rotations et symétries d’un motif de base.
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Frises et pavages sont étudiés au cycle 3 et au cycle 4 pour mettre en pratique les transformations : symétries, translations et rotations. On les retrouve dans les carrelages, les tissus, la mosaïque romaine, les décors de l’art islamique (Alhambra de Grenade) ou les œuvres de M. C. Escher.
Construire une frise : méthode
- Dessiner un motif de base sur un quadrillage.
- Éventuellement lui appliquer une symétrie (axe horizontal ou vertical) ou une rotation d’un demi-tour pour former un motif composé.
- Reproduire ce motif par translation d’un même vecteur, toujours dans la même direction, en comptant les carreaux.
Les mathématiciens ont démontré qu’il n’existe que 7 types de frises différents selon les symétries qu’elles admettent, et 17 types de pavages périodiques du plan (les « groupes de papier peint »).
Les pavages réguliers
Un pavage est régulier s’il utilise un seul polygone régulier, assemblé sommet contre sommet. Il n’en existe que trois :
| Polygone | Angle intérieur | Nombre autour d’un sommet |
|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 60° | 6 |
| Carré | 90° | 4 |
| Hexagone régulier | 120° | 3 |
Raison : autour d’un sommet, les angles doivent totaliser 360°. Seuls 60°, 90° et 120° divisent exactement 360° parmi les angles des polygones réguliers. Le pentagone régulier (108°) ne convient pas : trois font 324°, quatre 432°. L’hexagone des alvéoles d’abeilles en est l’exemple naturel le plus connu.
Les pavages semi-réguliers
En mélangeant plusieurs polygones réguliers avec la même configuration à chaque sommet, on obtient 8 pavages semi-réguliers (ou archimédiens). Exemple : octogones et carrés (135 + 135 + 90 = 360°), motif fréquent des carrelages.
Paver avec d’autres figures
- Tout triangle pave le plan : deux copies forment un parallélogramme.
- Tout quadrilatère, même non convexe, pave le plan par rotations d’un demi-tour autour des milieux des côtés, car la somme de ses angles vaut 360°.
- Les pentagones convexes : seules quelques familles pavent le plan ; la liste complète (15 familles) n’a été établie qu’au XXIᵉ siècle.
- Il existe des pavages non périodiques, comme ceux de Penrose (années 1970), qui ne se répètent jamais par translation.
Reconnaître une transformation dans un pavage
| On passe d’un motif à l’autre par… | Indice |
|---|---|
| Translation | même orientation, simple glissement |
| Symétrie axiale | motif retourné « en miroir » par rapport à une droite |
| Symétrie centrale | motif retourné « tête-bêche » (demi-tour) |
| Rotation (quart de tour…) | motif tourné autour d’un point |
Erreurs fréquentes
- Varier le vecteur de translation dans une frise : le décalage doit être constant.
- Confondre symétrie centrale et symétrie axiale : la première ne « retourne » pas la figure comme un miroir.
- Croire que tous les polygones réguliers pavent le plan.
- Laisser des trous : vérifier que la somme des angles autour de chaque sommet vaut 360°.
Exercice corrigé
- Un octogone régulier a des angles de 135°. Peut-on paver avec des octogones seuls ?
360 ÷ 135 ≈ 2,67, non. - Avec octogones et carrés ?
135 + 135 + 90 = 360: oui, deux octogones et un carré à chaque sommet. - Combien de triangles équilatéraux autour d’un sommet ?
360 ÷ 60 =6. - Dans une frise, chaque motif est l’image du précédent par une translation de 4 carreaux vers la droite. Le 5ᵉ motif est à 16 carreaux du premier.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une frise et un pavage ?
Une frise se répète dans une seule direction, sur une bande ; un pavage recouvre tout le plan, souvent avec des répétitions dans deux directions.
Quels polygones réguliers pavent le plan ?
Seulement le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier.
Qui était Escher ?
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) était un graveur néerlandais célèbre pour ses pavages de figures animales (oiseaux, poissons, lézards) obtenus en déformant des polygones selon des règles de symétrie.
Un pavage peut-il ne jamais se répéter ?
Oui. Les pavages de Penrose, par exemple, couvrent le plan sans jamais se répéter par translation. Des structures semblables ont été observées dans certains cristaux, les quasi-cristaux.