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Les fractales
Une fractale est une figure géométrique dont la structure se répète à toutes les échelles : chaque partie, agrandie, ressemble à l’ensemble. Le chou romanesco et les côtes rocheuses en sont des exemples naturels.
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Un flocon de neige, une fougère, un éclair, le réseau des bronches ou le chou romanesco partagent une propriété étonnante : si l’on zoome sur un détail, on retrouve une forme semblable à l’ensemble. La géométrie classique, faite de droites, de cercles et de surfaces lisses, ne sait pas décrire ces formes rugueuses. Les fractales, étudiées dès la fin du XIXe siècle et popularisées par Benoît Mandelbrot dans les années 1970, comblent ce manque.
Les fractales classiques
| Fractale | Construction | Propriété remarquable |
|---|---|---|
| Ensemble de Cantor (1883) | Retirer le tiers central d’un segment, puis de chaque morceau, indéfiniment | Longueur totale nulle mais infinité indénombrable de points |
| Courbe de Koch (1904) | Remplacer le tiers central de chaque segment par deux côtés d’un triangle équilatéral | Longueur infinie |
| Flocon de Koch | Courbe de Koch appliquée aux trois côtés d’un triangle | Périmètre infini, aire finie |
| Triangle de Sierpinski (1915) | Retirer le triangle central d’un triangle équilatéral, et ainsi de suite | Aire nulle à la limite |
| Éponge de Menger (1926) | Version en 3D : retirer le cube central et les centres des faces | Volume nul, surface infinie |
| Ensemble de Mandelbrot (1980) | Points c du plan complexe pour lesquels la suite z → z² + c reste bornée | Frontière d’une complexité infinie |
Le flocon de Koch : périmètre infini, aire finie
À chaque étape, chaque segment est remplacé par 4 segments trois fois plus courts. La longueur est donc multipliée par 4/3 à chaque étape :
| Étape | Nombre de segments | Périmètre (côté initial 1) |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 12 | 4 |
| 2 | 48 | 5,33 |
| 3 | 192 | 7,11 |
| n | 3 × 4ⁿ | 3 × (4/3)ⁿ |
Le périmètre tend vers l’infini (c’est une suite géométrique de raison 4/3 > 1). Pourtant, le flocon reste contenu dans un disque : son aire converge vers 8/5 de l’aire du triangle de départ.
La dimension fractale
Une droite est de dimension 1, un plan de dimension 2, un volume de dimension 3. Une fractale a souvent une dimension non entière, qui mesure à quel point elle « remplit » l’espace.
Pour une figure autosimilaire formée de N copies d’elle-même réduites d’un facteur k :
dimension = log(N) / log(k)
| Figure | N copies | Réduction k | Dimension |
|---|---|---|---|
| Segment | 2 | 2 | 1 |
| Carré | 4 | 2 | 2 |
| Ensemble de Cantor | 2 | 3 | log 2 / log 3 ≈ 0,631 |
| Courbe de Koch | 4 | 3 | log 4 / log 3 ≈ 1,262 |
| Triangle de Sierpinski | 3 | 2 | log 3 / log 2 ≈ 1,585 |
| Éponge de Menger | 20 | 3 | log 20 / log 3 ≈ 2,727 |
La courbe de Koch, de dimension 1,26, est « plus qu’une ligne mais moins qu’une surface ». Voir le logarithme.
Combien mesure la côte de la Grande-Bretagne ?
En 1967, Mandelbrot publie l’article « Combien mesure la côte de la Grande-Bretagne ? ». La réponse dépend de la longueur de la règle : plus l’unité de mesure est petite, plus on suit de baies, de rochers et de galets, et plus la longueur augmente, sans limite claire. Le météorologue Lewis Fry Richardson avait observé que les longueurs de frontières publiées par des pays voisins différaient fortement pour cette raison. La côte ouest de la Grande-Bretagne a une dimension fractale estimée à environ 1,25.
L’ensemble de Mandelbrot
On part d’un nombre complexe c et on calcule z₀ = 0, z₁ = z₀² + c, z₂ = z₁² + c… Si la suite reste bornée, c appartient à l’ensemble. Les ordinateurs ont permis, à partir de 1980, de tracer cette figure dont la frontière révèle des motifs infiniment variés à chaque grossissement. C’est l’exemple le plus célèbre de complexité infinie issue d’une règle très simple. Voir les nombres complexes.
Les fractales dans la nature
- Végétaux : chou romanesco, fougères, ramification des arbres et des nervures.
- Corps humain : bronches, vaisseaux sanguins, qui maximisent une surface d’échange dans un volume limité.
- Géographie : côtes, réseaux hydrographiques, reliefs montagneux.
- Météorologie : nuages, éclairs (voir les orages et la foudre), flocons de neige.
Dans la nature, l’autosimilarité n’est qu’approximative et cesse à une certaine échelle : un chou romanesco ne compte que quelques niveaux de répétition.
Applications
- Images de synthèse : génération de paysages, de montagnes, de nuages et d’arbres réalistes au cinéma et dans les jeux vidéo.
- Télécommunications : antennes fractales, compactes et efficaces sur plusieurs fréquences.
- Compression d’images, analyse de signaux, étude des marchés financiers et de la turbulence.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une fractale, simplement ?
Une forme qui se ressemble à toutes les échelles : en zoomant sur un morceau, on retrouve une copie (exacte ou approximative) de l’ensemble.
Qui a inventé les fractales ?
Des objets fractals ont été étudiés par Cantor, Koch, Sierpinski ou Julia entre 1880 et 1920. Benoît Mandelbrot (1924-2010), mathématicien franco-américain, a créé le mot en 1975 et montré leur omniprésence dans la nature.
Comment une figure peut-elle avoir un périmètre infini et une aire finie ?
Le flocon de Koch ajoute à chaque étape des triangles de plus en plus petits : la longueur totale croît sans limite, mais l’aire ajoutée diminue si vite que sa somme reste finie.
Une dimension peut-elle ne pas être un nombre entier ?
Oui, pour une fractale. La dimension mesure comment la « quantité » de figure varie quand on change d’échelle, et cette loi peut correspondre à un exposant non entier.