Sciences · Mathématiques
Angle inscrit et angle au centre
Dans un cercle, un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Un angle inscrit dans un demi-cercle est donc droit.
Mis à jour le 3 min de lecture
Le théorème de l’angle inscrit relie les angles d’une figure aux arcs d’un cercle. Longtemps au programme de 3e, il ne figure plus explicitement dans les programmes du collège depuis la réforme de 2016, mais reste utilisé au lycée et dans de nombreux exercices de géométrie et de concours. Il explique notamment pourquoi un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.
Le théorème
Si un angle inscrit AMB et l’angle au centre AOB interceptent le même arc AB, alors :
angle AMB = angle AOB ÷ 2
Exemple : si AOB = 100°, tout angle inscrit qui intercepte l’arc AB (du côté opposé à cet arc) mesure 50°.
Les conséquences
- Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux : tous les points M du même arc voient [AB] sous le même angle.
- Angle inscrit dans un demi-cercle : si [AB] est un diamètre, l’angle au centre vaut 180°, donc
AMB = 90°. Tout triangle inscrit dans un cercle et ayant un diamètre pour côté est rectangle (voir triangle rectangle). - Quadrilatère inscrit : dans un quadrilatère dont les quatre sommets sont sur un cercle, deux angles opposés sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).
Pourquoi le théorème est vrai (cas simple)
Prenons le cas où [MB] est un diamètre. Le triangle OMA est isocèle en O (OA = OM = rayon), donc ses angles en M et en A sont égaux, notons-les α. L’angle AOB est un angle extérieur du triangle OMA : il vaut la somme des deux angles non adjacents, α + α = 2α. Donc AMB = α = AOB / 2. Les autres cas s’en déduisent en découpant l’angle par le diamètre issu de M.
Méthode pour un exercice
- Repérer l'arc intercepté par chaque angle.
- Identifier l’angle au centre correspondant (sommet O).
- Appliquer : inscrit = au centre ÷ 2, ou au centre = 2 × inscrit.
- Utiliser les triangles isocèles formés par les rayons et la somme des angles (180°).
Application : les polygones réguliers
Un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle découpe celui-ci en n arcs égaux. Chaque angle au centre vaut 360° ÷ n.
| Polygone | Angle au centre | Angle inscrit interceptant un côté |
|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 120° | 60° |
| Carré | 90° | 45° |
| Pentagone | 72° | 36° |
| Hexagone | 60° | 30° |
C’est la méthode pour construire un polygone régulier au rapporteur : on trace les angles au centre successifs.
Erreurs fréquentes
- Prendre un angle qui n’intercepte pas le même arc : il faut que les deux angles « s’appuient » sur les mêmes extrémités, du bon côté.
- Multiplier au lieu de diviser : l’angle inscrit est le plus petit des deux.
- Oublier les triangles isocèles formés par deux rayons.
- Sommet pas exactement sur le cercle : le théorème ne s’applique pas.
Exercice corrigé
A, B, C sont sur un cercle de centre O, avec AOB = 130° et C sur le grand arc.
ACB = 130 ÷ 2 =65°.- Le triangle AOB est isocèle en O :
OAB = OBA = (180 − 130) ÷ 2 =25°. - Un point D est sur le même arc que C :
ADB =65° aussi. - Si [AE] est un diamètre et F un point du cercle, l’angle
AFEvaut 90°.
Questions fréquentes
Quelle est la relation entre angle inscrit et angle au centre ?
L’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
Pourquoi un triangle inscrit dans un demi-cercle est-il rectangle ?
Parce que l’angle au centre interceptant le demi-cercle vaut 180° : l’angle inscrit correspondant vaut donc 90°. Ce résultat est souvent attribué à Thalès.
Deux angles inscrits sont-ils toujours égaux ?
Seulement s’ils interceptent le même arc (ou des arcs de même longueur). Deux angles inscrits interceptant des arcs complémentaires sont supplémentaires.
Est-ce encore au programme du collège ?
Il ne figure plus explicitement dans les programmes du collège depuis la réforme de 2016. Il reste très utile en géométrie au lycée et dans les concours.