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La division euclidienne
La division euclidienne de a par b (b non nul) donne un quotient entier q et un reste r tels que a = b × q + r, avec 0 ≤ r < b. Exemple : 47 = 6 × 7 + 5.
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La division euclidienne est la « division avec reste » apprise à l’école primaire : partager 47 bonbons entre 6 enfants donne 7 bonbons chacun et il en reste 5. Elle porte le nom d'Euclide, qui l’utilise dans ses Éléments (vers 300 av. J.-C.) pour son célèbre algorithme du PGCD. C’est la base de toute l’arithmétique des entiers.
Le vocabulaire sur un exemple
| Élément | Rôle | Dans 47 = 6 × 7 + 5 |
|---|---|---|
| Dividende | Nombre que l’on partage | 47 |
| Diviseur | Nombre de parts | 6 |
| Quotient | Taille de chaque part | 7 |
| Reste | Ce qui reste, toujours plus petit que le diviseur | 5 |
La condition r < b est essentielle : écrire 47 = 6 × 6 + 11 est une égalité vraie, mais ce n’est pas la division euclidienne, car 11 ≥ 6.
Méthode de calcul
Avec des petits nombres
On cherche le plus grand multiple du diviseur inférieur ou égal au dividende. Pour 58 ÷ 9 : 9 × 6 = 54 et 9 × 7 = 63 > 58. Donc q = 6 et r = 58 − 54 = 4, soit 58 = 9 × 6 + 4.
La division posée
Pour de grands nombres, on procède chiffre par chiffre, de gauche à droite.
Avec une calculatrice
On calcule a ÷ b : la partie entière du résultat donne q (pour a positif), puis r = a − b × q. Pour 1 573 ÷ 12 ≈ 131,08 : q = 131 et r = 1 573 − 1 572 = 1. Beaucoup de calculatrices ont une touche dédiée, et les langages informatiques un opérateur modulo (%).
Le cas des nombres négatifs
Le reste doit rester positif. Pour diviser −17 par 5 : −17 = 5 × (−4) + 3, donc q = −4 et r = 3. Écrire −17 = 5 × (−3) − 2 ne convient pas, car le reste serait négatif. Attention : selon les langages informatiques, l’opérateur % peut renvoyer −2 pour cet exemple.
Ce que dit le reste
- r = 0 : b est un diviseur de a, et a un multiple de b (voir multiples et diviseurs).
- Les restes possibles dans une division par b sont 0, 1, …, b − 1 : il y en a exactement b. Dans la division par 2, le reste 0 ou 1 indique la parité (voir nombres pairs et impairs).
- Deux nombres qui ont le même reste dans la division par n sont dits congrus modulo n : c’est le point de départ de l'arithmétique modulaire.
Applications concrètes
L'algorithme d’Euclide, qui enchaîne les divisions euclidiennes, calcule le plus grand diviseur commun de deux nombres (voir PGCD et PPCM). La division euclidienne sert aussi à convertir un nombre en base 2 par divisions successives (voir le système binaire).
Erreurs fréquentes
- Un reste plus grand que le diviseur : il reste encore au moins une part à distribuer.
- Confondre quotient euclidien et quotient décimal : 47 ÷ 6 ≈ 7,83, mais le quotient euclidien est 7 et le reste 5 (pas 0,83 ni 83).
- Diviser par zéro : la division euclidienne n’existe pas pour b = 0 (voir division par zéro).
Questions fréquentes
Comment trouver le reste d’une division euclidienne ?
On calcule le quotient entier q, puis r = a − b × q. Pour 100 ÷ 7 : q = 14, r = 100 − 98 = 2.
Le reste peut-il être égal au diviseur ?
Non. Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur. S’il lui était égal, on pourrait ajouter 1 au quotient.
Quelle différence entre division euclidienne et division décimale ?
La division euclidienne s’arrête aux entiers et donne un reste ; la division décimale continue après la virgule jusqu’à un résultat exact ou approché.
Pourquoi le couple (quotient, reste) est-il unique ?
Si bq + r = bq' + r' avec deux restes entre 0 et b − 1, alors b(q − q') = r' − r, un multiple de b strictement compris entre −b et b : c’est forcément 0.