Sciences · Mathématiques
Les nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 3,75. C’est un quotient d’un entier par une puissance de 10 : 3,75 = 375/100.
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Les nombres décimaux sont ceux des prix, des mesures et des notes : 12,90 €, 1,75 m, 14,5 sur 20. Ils prolongent les entiers en découpant l’unité en dixièmes, centièmes, millièmes. En mathématiques, ils forment l’ensemble noté 𝔻, situé entre les entiers relatifs et les rationnels (voir les ensembles de nombres).
La valeur des chiffres
Dans un nombre décimal, chaque position vaut dix fois moins que celle de gauche.
| Centaines | Dizaines | Unités | , | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 7 | , | 2 | 0 | 5 |
347,205 = 300 + 40 + 7 + 2/10 + 0/100 + 5/1000. La partie entière est 347, la partie décimale 0,205.
On peut ajouter ou supprimer des zéros à droite de la partie décimale sans changer le nombre : 4,5 = 4,50 = 4,500. En revanche 4,05 est différent de 4,5.
Décimal ou non ?
Une fraction irréductible est un nombre décimal si et seulement si son dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5 (les diviseurs de 10).
| Fraction | Dénominateur | Décimal ? | Écriture |
|---|---|---|---|
| 3/4 | 2² | Oui | 0,75 |
| 7/20 | 2² × 5 | Oui | 0,35 |
| 1/3 | 3 | Non | 0,333… (illimité) |
| 5/6 | 2 × 3 | Non | 0,8333… |
1/3 est un nombre rationnel mais pas décimal : son écriture après la virgule ne s’arrête jamais. π ou √2 ne sont même pas rationnels (voir les nombres irrationnels).
Comparer deux décimaux
- On compare d’abord les parties entières.
- Si elles sont égales, on compare chiffre à chiffre la partie décimale, en partant des dixièmes.
Le piège classique est de croire que 2,75 est plus grand « parce qu’il a plus de chiffres ».
Les quatre opérations
Addition et soustraction
On aligne les virgules (unités sous unités), on complète par des zéros si besoin, puis on calcule comme avec des entiers.
Multiplication
On multiplie sans tenir compte des virgules, puis on place dans le résultat autant de chiffres après la virgule qu’il y en a au total dans les deux facteurs.
Multiplier par 10, 100, 1 000 décale la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la droite ; multiplier par 0,1 ou 0,01 revient à diviser par 10 ou 100.
Division
Pour diviser par un décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par la même puissance de 10 afin de rendre le diviseur entier.
Le quotient de deux décimaux n’est pas toujours décimal : 1 ÷ 3 = 0,333…. On donne alors une valeur approchée (voir arrondir un nombre).
Décimaux et écriture fractionnaire
Passer d’une écriture à l’autre est fréquent dans les calculs de fractions et de pourcentages.
| Décimal | Fraction décimale | Fraction simplifiée | Pourcentage |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 5/10 | 1/2 | 50 % |
| 0,25 | 25/100 | 1/4 | 25 % |
| 0,2 | 2/10 | 1/5 | 20 % |
| 0,125 | 125/1000 | 1/8 | 12,5 % |
| 1,5 | 15/10 | 3/2 | 150 % |
Erreurs fréquentes
- Comparer selon le nombre de chiffres : 0,9 est plus grand que 0,125.
- Mal placer la virgule dans un produit : 0,2 × 0,3 = 0,06 (deux décimales), pas 0,6.
- Croire qu’une multiplication agrandit toujours : multiplier par 0,5 divise par 2.
- Oublier d’aligner les virgules dans une addition posée.
Questions fréquentes
Un nombre entier est-il un nombre décimal ?
Oui : 7 s’écrit 7,0 ou 7/1. Tout entier relatif est décimal ; l’inverse est faux.
1/3 est-il un nombre décimal ?
Non. Son écriture décimale 0,333… est illimitée. C’est un rationnel non décimal.
Quelle différence entre nombre décimal et nombre à virgule ?
Un nombre à virgule peut avoir une infinité de chiffres (π = 3,14159…). Un décimal en a un nombre fini.
Pourquoi la France utilise-t-elle une virgule et non un point ?
C’est une convention : la virgule est la norme en France et dans une grande partie de l’Europe, le point dans les pays anglophones. Les calculatrices et tableurs utilisent souvent le point.