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Nombres pairs et impairs
Un nombre entier est pair s’il est divisible par 2 (il s’écrit 2k) et impair sinon (il s’écrit 2k + 1). On le reconnaît à son dernier chiffre : 0, 2, 4, 6 ou 8 pour un pair.
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La parité est la première propriété que l’on apprend sur les nombres entiers, et l’une des plus utiles. Elle sert à vérifier un calcul, à démontrer des résultats d’arithmétique, à organiser des groupes par deux ou à comprendre pourquoi certains problèmes n’ont pas de solution. Elle ne concerne que les entiers (naturels ou relatifs) : 3,5 n’est ni pair ni impair.
Reconnaître un nombre pair
Un entier est pair si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Il est impair si son dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9. C’est le plus simple des critères de divisibilité : il fonctionne parce que 10 est pair, donc toutes les dizaines, centaines, milliers sont pairs et seul le chiffre des unités décide.
| Nombre | Dernier chiffre | Parité | Écriture |
|---|---|---|---|
| 48 | 8 | Pair | 48 = 2 × 24 |
| 137 | 7 | Impair | 137 = 2 × 68 + 1 |
| 0 | 0 | Pair | 0 = 2 × 0 |
| −6 | 6 | Pair | −6 = 2 × (−3) |
| −11 | 1 | Impair | −11 = 2 × (−6) + 1 |
Zéro est-il pair ?
Oui, sans ambiguïté : 0 = 2 × 0, donc 0 est un multiple de 2. Il est entouré de deux impairs (−1 et 1), comme tout nombre pair. Les nombres négatifs suivent la même règle : −4 est pair, −7 est impair.
Les règles de calcul
| Opération | Résultat |
|---|---|
| pair + pair | pair |
| impair + impair | pair |
| pair + impair | impair |
| pair × n’importe quel entier | pair |
| impair × impair | impair |
| pair − impair | impair |
Ces règles se démontrent avec l’écriture algébrique.
Puissances et carrés
Une puissance d’un nombre a la même parité que ce nombre (pour un exposant au moins égal à 1) : 7⁵ est impair, 6³ est pair. Conséquence utile : n et n² ont la même parité. Si n² est pair, alors n est pair. C’est l’argument clé de la démonstration classique de l’irrationalité de √2 (voir les nombres irrationnels).
Propriétés à connaître
- Deux entiers consécutifs n et n + 1 sont toujours de parités différentes ; leur produit
n(n + 1)est donc toujours pair. - La somme de n nombres impairs est paire si n est pair, impaire si n est impair.
- La somme des n premiers nombres impairs vaut
n²:1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². - Le seul nombre premier pair est 2 ; tous les autres nombres premiers sont impairs.
- Le carré d’un nombre impair est toujours de la forme
8k + 1: 9, 25, 49, 81…
À quoi sert la parité ?
La parité permet de vérifier rapidement un résultat : si l’on additionne 17 nombres impairs et que l’on trouve un résultat pair, il y a une erreur. Elle sert aussi à prouver des impossibilités.
En informatique, la parité est testée avec l’opérateur modulo (n % 2 == 0) ou en regardant le dernier bit de l’écriture binaire : un nombre est pair si son bit de poids faible vaut 0 (voir le système binaire). Les bits de parité servent aussi à détecter des erreurs de transmission. Plus généralement, la parité est le cas le plus simple de l'arithmétique modulaire : travailler « modulo 2 ».
Erreurs fréquentes
- Croire que 0 n’est ni pair ni impair : 0 est pair.
- Parler de parité pour un décimal : 4,2 n’est ni pair ni impair, la notion ne vaut que pour les entiers.
- Regarder le premier chiffre : c’est le dernier chiffre qui compte (2 351 est impair).
- Confondre « pair » et « premier » : 9 est impair mais pas premier ; 2 est pair et premier.
Questions fréquentes
Zéro est-il un nombre pair ?
Oui. 0 est divisible par 2 (0 = 2 × 0) et le reste de sa division par 2 vaut 0. Il est donc pair.
Un nombre négatif peut-il être pair ?
Oui. La parité s’applique à tous les entiers relatifs : −2, −10 ou −100 sont pairs, −1 et −15 sont impairs.
Comment écrire un nombre impair en algèbre ?
On l’écrit 2k + 1 (ou 2k − 1) avec k entier. Deux impairs consécutifs s’écrivent 2k + 1 et 2k + 3.
Pourquoi la somme de deux nombres impairs est-elle paire ?
Parce que chaque impair a un « reste » de 1 dans sa division par 2 ; les deux restes s’additionnent en 2, qui est divisible par 2.