Sciences · Mathématiques
Calculer avec une échelle
L’échelle d’un plan est le quotient de la distance sur le plan par la distance réelle, dans la même unité. Au 1/25 000, 1 cm sur la carte représente 250 m sur le terrain.
Mis à jour le 3 min de lecture
L’échelle est une application directe de la proportionnalité, travaillée du CM2 à la 4e. Elle sert à lire une carte de randonnée, un plan de maison ou une notice de maquette. La difficulté vient rarement du calcul lui-même, mais des conversions d’unités.
Les trois formules
| On cherche | Formule |
|---|---|
| L’échelle | distance plan ÷ distance réelle |
| La distance réelle | distance plan × n (pour une échelle 1/n) |
| La distance sur le plan | distance réelle ÷ n |
Méthode pas à pas
- Lire l’échelle et repérer n.
- Mesurer ou relever la distance connue.
- Calculer avec la formule adaptée.
- Convertir le résultat dans une unité parlante (m ou km pour le réel, cm pour la carte). Rappel :
1 km = 100 000 cm. Voir convertir des longueurs.
Exemples chiffrés
- Carte au 1/25 000, distance mesurée 6 cm : réel
6 × 25 000 = 150 000 cm = 1,5 km. - Carte au 1/100 000, distance réelle 18 km : sur la carte
1 800 000 cm ÷ 100 000 = 18 cm. - Plan d’appartement, une pièce de 4,5 m dessinée par 9 cm : échelle
9 ÷ 450 = 1/50. - Maquette au 1/87 d’une locomotive de 20 m : longueur
2 000 cm ÷ 87 ≈ 23 cm.
Petite ou grande échelle ?
Le vocabulaire est contre-intuitif :
| Échelle | Fraction | Territoire couvert | Niveau de détail |
|---|---|---|---|
| Grande échelle | 1/10 000, 1/25 000 | petit (quartier, commune) | élevé |
| Petite échelle | 1/1 000 000, 1/10 000 000 | grand (pays, continent) | faible |
Une « grande échelle » correspond à une grande fraction : 1/10 000 est plus grand que 1/1 000 000. Pour les cartes elles-mêmes, voir les projections cartographiques.
Échelle supérieure à 1 : l’agrandissement
Les schémas d’insectes ou de composants électroniques sont des agrandissements : à l’échelle 10/1 (ou 10 : 1), 10 cm sur le dessin représentent 1 cm en réalité. La fiche agrandissement et réduction étudie l’effet sur les aires et les volumes.
L’échelle graphique
Beaucoup de cartes affichent une barre graduée (par exemple « 0 — 500 m »). On mesure la barre : si 2 cm représentent 500 m, alors 1 cm représente 250 m, soit 25 000 cm, d’où l’échelle 1/25 000. Avantage : elle reste juste si la carte est photocopiée en plus grand ou en plus petit, contrairement à l’échelle numérique.
Aires et échelle
Les aires ne suivent pas l’échelle : à l’échelle 1/100, une surface de 1 cm² sur le plan représente 100 × 100 = 10 000 cm², soit 1 m². Les aires sont multipliées par le carré du rapport.
Erreurs fréquentes
- Mélanger les unités :
9 cm ÷ 4,5 mne donne pas 2 ; il faut convertir 4,5 m en 450 cm. - Inverser la fraction : une échelle de carte est toujours inférieure à 1.
- Mal convertir les km en cm : 1 km = 100 000 cm (cinq zéros).
- Appliquer l’échelle aux aires sans élever au carré.
Exercice corrigé
- Sur une carte au 1/50 000, deux villages sont à 7,4 cm. Distance réelle :
7,4 × 50 000 = 370 000 cm =3,7 km. - Un sentier de 2,5 km sur une carte au 1/25 000 :
250 000 ÷ 25 000 =10 cm. - Un terrain de 60 m mesure 12 cm sur un plan. Échelle :
12 ÷ 6 000 =1/500. - Un insecte de 8 mm est dessiné sur 4 cm. Échelle :
40 ÷ 8 =5/1 (agrandissement).
Questions fréquentes
Comment calculer une distance réelle avec une échelle ?
On multiplie la distance mesurée par le dénominateur de l’échelle, puis on convertit. À 1/25 000, 4 cm donnent 100 000 cm, soit 1 km.
Que signifie une échelle de 1/25 000 ?
1 cm sur la carte représente 25 000 cm, soit 250 m sur le terrain. 4 cm représentent donc 1 km. C’est l’échelle des cartes de randonnée de l’IGN.
Comment trouver l’échelle d’un plan ?
On divise une longueur du plan par la longueur réelle correspondante, dans la même unité, puis on écrit le résultat sous la forme 1/n.
Une échelle a-t-elle une unité ?
Non : c’est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, donc un nombre sans unité.