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Les critères de divisibilité

Un critère de divisibilité permet de savoir, sans poser la division, si un entier est divisible par un autre. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l’est, par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

Mis à jour le 28 octobre 20266 min de lecture

Pour simplifier une fraction, décomposer un nombre en facteurs premiers, chercher un PGCD ou vérifier un calcul, il est précieux de savoir reconnaître rapidement les diviseurs d’un nombre. Les critères de divisibilité sont des règles simples, fondées sur l’écriture décimale, qui évitent de poser la division.

Tableau récapitulatif

Divisible par	Critère	Exemple
2	le chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6 ou 8)	3 578
3	la somme des chiffres est divisible par 3	4 251 : 4 + 2 + 5 + 1 = 12
4	le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4	7 316 : 16
5	le chiffre des unités est 0 ou 5	2 345
6	divisible à la fois par 2 et par 3	1 254 : pair, et 1 + 2 + 5 + 4 = 12
8	le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible par 8	15 136 : 136 = 8 × 17
9	la somme des chiffres est divisible par 9	7 362 : 7 + 3 + 6 + 2 = 18
10	le chiffre des unités est 0	4 590
11	la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair est divisible par 11	9 273 : (3 + 2) − (7 + 9) = −11
25	les deux derniers chiffres forment 00, 25, 50 ou 75	3 475
100	les deux derniers chiffres sont 00	8 300

Les critères en détail

Par 2, 5 et 10 : le dernier chiffre

Ces trois nombres divisent 10. Or tout entier s’écrit 10 × (nombre de dizaines) + chiffre des unités. La partie 10 × … est toujours divisible par 2, 5 et 10 : tout dépend donc du chiffre des unités.

Les nombres divisibles par 2 sont les nombres pairs.
Un nombre divisible par 10 se termine par 0 ; il est à la fois divisible par 2 et par 5.

Par 4 et 25 : les deux derniers chiffres

100 est divisible par 4 et par 25. Un nombre s’écrit 100 × (nombre de centaines) + (deux derniers chiffres) : seul compte le nombre formé par les deux derniers chiffres.

Par 8 : les trois derniers chiffres

1 000 = 8 × 125 : seul compte le nombre formé par les trois derniers chiffres. 47 512 est divisible par 8 car 512 = 8 × 64.

Par 3 et 9 : la somme des chiffres

Ces critères sont plus surprenants. Ils reposent sur le fait que 10, 100, 1 000… valent un multiple de 9 plus 1 (10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1). Ainsi :

4 251 = 4 × 1 000 + 2 × 100 + 5 × 10 + 1 = (4 × 999 + 2 × 99 + 5 × 9) + (4 + 2 + 5 + 1)

La première parenthèse est un multiple de 9, donc de 3. Le nombre a donc le même reste dans la division par 9 (ou par 3) que la somme de ses chiffres.

Tout nombre divisible par 9 est divisible par 3, mais pas l’inverse : 12 est divisible par 3 mais pas par 9.

Par 6, 12, 15, 18 : combiner les critères

Un nombre est divisible par un produit de deux nombres premiers entre eux s’il est divisible par chacun d’eux :

Divisible par	Condition
6	par 2 et par 3
12	par 3 et par 4
15	par 3 et par 5
18	par 2 et par 9
36	par 4 et par 9

Par 11 : la somme alternée

On numérote les chiffres en partant de la droite. On calcule la somme des chiffres de rang impair (unités, centaines…) moins la somme des chiffres de rang pair (dizaines, milliers…). Le nombre est divisible par 11 si ce résultat est divisible par 11 (0 compris).

Ce critère vient de ce que 10 = 11 − 1 : les puissances de 10 valent alternativement « un multiple de 11 plus 1 » et « un multiple de 11 moins 1 ».

Par 7 : un critère moins pratique

Il n’existe pas de critère aussi simple. Une méthode courante : on retire le chiffre des unités, on le multiplie par 2 et on le soustrait au nombre restant. Le nombre de départ est divisible par 7 si le résultat l’est. On répète si nécessaire.

Pour 7, il est souvent aussi rapide de poser la division.

À quoi servent ces critères ?

Simplifier des fractions : 126 / 162 ; les deux sommes de chiffres valent 9, donc on peut diviser par 9 : 14 / 18, puis par 2 : 7 / 9 (voir fractions).
Chercher des nombres premiers : pour savoir si un nombre est premier, on teste sa divisibilité par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… jusqu’à sa racine carrée (voir nombres premiers).
Décomposer en facteurs premiers : 360 = 2³ × 3² × 5, en divisant successivement par 2, 3 et 5.
Vérifier des calculs : la « preuve par 9 », enseignée autrefois à l’école, compare les restes des sommes de chiffres pour détecter des erreurs dans une multiplication. Elle peut laisser passer certaines erreurs (une inversion de chiffres, par exemple).
Codes de contrôle : les numéros de sécurité sociale, de carte bancaire (algorithme de Luhn) ou les codes ISBN utilisent des calculs de divisibilité pour détecter les erreurs de saisie.

Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

On additionne ses chiffres : si la somme est divisible par 3, le nombre l’est aussi. Par exemple 711 : 7 + 1 + 1 = 9, divisible par 3, donc 711 = 3 × 237.

Comment savoir si un nombre est divisible par 4 ?

On regarde le nombre formé par ses deux derniers chiffres : s’il est divisible par 4, le nombre entier l’est. 5 932 est divisible par 4 car 32 = 4 × 8.

Zéro est-il divisible par tous les nombres ?

Oui : 0 = b × 0 pour tout entier b non nul. Zéro est donc un multiple de tous les entiers. En revanche, on ne peut pas diviser par zéro.

Existe-t-il un critère de divisibilité par 7 ?

Oui, mais il est peu pratique : retirer le dernier chiffre, soustraire son double au nombre restant, et recommencer jusqu’à obtenir un petit nombre dont on sait s’il est multiple de 7.