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L’équation d’une droite
Toute droite non verticale a une équation de la forme y = mx + p, où m est le coefficient directeur (la pente) et p l’ordonnée à l’origine. Une droite verticale a pour équation x = c.
Mis à jour le 4 min de lecture
Une droite tracée dans un repère est l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient une même relation : son équation. Connaître cette équation permet de savoir si un point est sur la droite, de calculer où deux droites se croisent, ou de décrire une évolution régulière (un tarif, une vitesse constante). C’est aussi la représentation graphique d’une fonction affine.
Le sens de m et de p
| Valeur | Interprétation graphique |
|---|---|
| m > 0 | La droite monte (de gauche à droite) |
| m < 0 | La droite descend |
| m = 0 | La droite est horizontale : y = p |
| p | Point d’intersection avec l’axe des ordonnées : (0 ; p) |
| p = 0 | La droite passe par l’origine : y = mx (proportionnalité) |
Le coefficient directeur mesure la variation de y quand x augmente de 1. Une pente de 3 signifie : un pas vers la droite, trois pas vers le haut. Une route à 8 % a une pente de 0,08.
Trouver l’équation à partir de deux points
Pour une droite passant par A(xA ; yA) et B(xB ; yB) avec xA ≠ xB :
- Calculer
m = (yB − yA) / (xB − xA). - Calculer p en remplaçant x et y par les coordonnées de A :
p = yA − m × xA. - Écrire
y = mx + p.
Tracer une droite à partir de son équation
Pour y = 0,5x − 2 :
- point d’ordonnée à l’origine :
(0 ; −2); - un second point, par exemple pour x = 4 :
y = 0,5 × 4 − 2 = 0, soit(4 ; 0); - relier les deux points. Un troisième point sert de vérification.
Un point appartient-il à la droite ?
On remplace x par l’abscisse du point et on compare le résultat à son ordonnée.
L’équation cartésienne
Toute droite, verticale comprise, a une équation de la forme :
ax + by + c = 0 (avec a et b non tous deux nuls)
Un vecteur directeur de cette droite est u→(−b ; a). Si b ≠ 0, on retrouve l’équation réduite en isolant y : y = −(a/b)x − c/b.
Droites parallèles, perpendiculaires et intersection
Relation entre y = mx + p et y = m′x + p′ | Condition (repère orthonormé pour ⊥) |
|---|---|
| Parallèles | m = m′ |
| Confondues | m = m′ et p = p′ |
| Sécantes | m ≠ m′ |
| Perpendiculaires | m × m′ = −1 |
Pour trouver le point d’intersection de deux droites sécantes, on résout le système formé par leurs deux équations (voir les équations).
Voir aussi droites parallèles et perpendiculaires.
Lien avec les fonctions affines
La droite y = mx + p est la courbe représentative de la fonction affine f(x) = mx + p. Quand p = 0, c’est une fonction linéaire, qui traduit une situation de proportionnalité. Voir les fonctions mathématiques.
Questions fréquentes
Comment trouver le coefficient directeur d’une droite ?
Avec deux points de la droite : différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, m = (yB − yA) / (xB − xA).
Quelle est l’équation d’une droite verticale ?
x = c, où c est l’abscisse commune de tous ses points. Elle n’a pas de coefficient directeur et n’est pas la courbe d’une fonction.
Que signifie l’ordonnée à l’origine ?
C’est la valeur de y quand x vaut 0 : l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe vertical.
Comment savoir si deux droites sont parallèles ?
Leurs équations réduites ont le même coefficient directeur. Par exemple, y = 3x − 1 et y = 3x + 4 sont parallèles.