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Les nombres relatifs
Un nombre relatif est un nombre muni d’un signe, + ou −. Pour multiplier ou diviser, deux signes identiques donnent un résultat positif et deux signes contraires un résultat négatif.
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Températures sous zéro, altitudes sous le niveau de la mer, soldes bancaires débiteurs, années avant notre ère : les nombres négatifs décrivent tout ce qui se situe « en dessous » d’une origine. Avec les nombres positifs, ils forment les nombres relatifs. Les entiers relatifs constituent l’ensemble ℤ (voir les ensembles de nombres).
Sur la droite graduée
Les nombres relatifs se placent sur une droite : les positifs à droite de zéro, les négatifs à gauche. Plus un nombre est à droite, plus il est grand.
- Entre deux positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro :
7 > 3. - Entre deux négatifs, c’est l’inverse :
−3 > −7(il fait plus chaud à −3 °C qu’à −7 °C). - Tout positif est plus grand que tout négatif :
0,1 > −100.
Additionner des relatifs
| Cas | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Même signe | On additionne les distances à zéro et on garde le signe | (−4) + (−6) = −10 |
| Signes contraires | On soustrait les distances à zéro et on prend le signe de celui qui a la plus grande | (−9) + 4 = −5 ; 9 + (−4) = 5 |
| Opposés | La somme est nulle | (−8) + 8 = 0 |
Soustraire : ajouter l’opposé
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : a − b = a + (−b).
Le dernier cas surprend souvent : retirer une dette de 4 €, c’est s’enrichir de 4 €.
Multiplier et diviser : la règle des signes
| Signes | Résultat |
|---|---|
| (+) × (+) | + |
| (−) × (−) | + |
| (+) × (−) | − |
| (−) × (+) | − |
La même règle s’applique à la division. On calcule la valeur numérique d’un côté, le signe de l’autre.
Pour un produit de plusieurs facteurs : le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s’il est impair.
Pourquoi « moins par moins donne plus » ?
C’est une conséquence de la distributivité. On sait que (−3) × 0 = 0. Or 0 = 5 + (−5), donc (−3) × 5 + (−3) × (−5) = 0. Comme (−3) × 5 = −15, il faut que (−3) × (−5) = 15. La règle n’est pas une convention arbitraire : c’est la seule compatible avec les règles de calcul habituelles.
Puissances de nombres négatifs
(−2)² = (−2) × (−2) = 4;(−2)³ = −8. Un négatif élevé à une puissance paire donne un positif, à une puissance impaire un négatif.- Attention :
−2² = −(2²) = −4. Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur 2 (voir les puissances et les priorités opératoires).
Simplifier l’écriture
On supprime les parenthèses et les signes inutiles :
+(+a) = aet−(−a) = a;+(−a) = −aet−(+a) = −a.
Erreurs fréquentes
- Appliquer la règle des signes à l’addition :
(−3) + (−4) = −7, pas 7. - Mal comparer deux négatifs :
−10 < −2. - Oublier les parenthèses sur la calculatrice : taper
−3²donne −9. - Confondre le signe moins et le signe de soustraction : dans
5 − (−2), le premier « − » est une opération, le second un signe.
Questions fréquentes
Pourquoi moins fois moins donne-t-il plus ?
Parce que c’est la seule règle qui conserve la distributivité de la multiplication sur l’addition. Prendre l’opposé deux fois revient au point de départ.
Zéro est-il positif ou négatif ?
Les deux, au sens large : zéro est à la fois positif et négatif, mais ni strictement positif ni strictement négatif.
Quand les nombres négatifs sont-ils apparus ?
Ils sont utilisés en Chine dès les premiers siècles de notre ère et en Inde au VIIe siècle (Brahmagupta). En Europe, ils restent longtemps suspects et ne sont pleinement acceptés qu’aux XVIIe-XVIIIe siècles (voir l'histoire du zéro).
Comment calculer (−1) puissance n ?
(−1)ⁿ vaut 1 si n est pair et −1 si n est impair.