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Multiples et diviseurs
Un entier a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = b × k ; on dit alors que b est un diviseur de a. Exemple : 24 = 6 × 4, donc 24 est un multiple de 6 et 6 divise 24.
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Multiples et diviseurs décrivent la même relation vue de deux côtés. Ils servent à simplifier des fractions, à répartir des objets en paquets égaux, à trouver des dates communes ou à reconnaître les nombres premiers. Toute l’arithmétique repose sur cette notion de divisibilité.
Les multiples d’un nombre
Les multiples de b s’obtiennent en multipliant b par 0, 1, 2, 3… Ils sont en nombre infini.
| Nombre | Premiers multiples |
|---|---|
| 3 | 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21… |
| 7 | 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42… |
| 12 | 0, 12, 24, 36, 48, 60… |
0 est un multiple de tout nombre (0 = b × 0). Les multiples de 2 sont les nombres pairs.
Les diviseurs d’un nombre
Un nombre non nul a un nombre fini de diviseurs, tous inférieurs ou égaux à lui-même. 1 et le nombre lui-même sont toujours des diviseurs.
Méthode pour trouver tous les diviseurs
On teste les entiers 1, 2, 3… et on note les diviseurs par paires : si d divise n, alors n/d aussi. On s’arrête dès que d dépasse √n.
Les critères de divisibilité accélèrent les tests (par 2, 3, 5, 9…).
Compter les diviseurs
À partir de la décomposition en facteurs premiers n = p₁^a × p₂^b × …, le nombre de diviseurs vaut (a + 1)(b + 1)…. Pour 60 = 2² × 3 × 5 : 3 × 2 × 2 = 12 diviseurs. Un nombre a un nombre impair de diviseurs si et seulement si c’est un carré parfait (36 en a 9).
Propriétés de la divisibilité
| Propriété | Énoncé | Exemple |
|---|---|---|
| Réflexivité | Tout n non nul divise n | 7 divise 7 |
| Transitivité | Si a divise b et b divise c, alors a divise c | 3 divise 12 et 12 divise 48, donc 3 divise 48 |
| Somme et différence | Si d divise a et b, il divise a + b et a − b | 5 divise 35 et 20, donc 5 divise 55 et 15 |
| Combinaison | Si d divise a et b, il divise ua + vb pour tous entiers u, v | Base du théorème de Bézout |
| Produit | Si d divise a, il divise tout multiple de a | 4 divise 12, donc 4 divise 120 |
Nombres premiers, diviseurs communs
- Un nombre qui a exactement deux diviseurs (1 et lui-même) est un nombre premier : 2, 3, 5, 7, 11…
- Les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD ; les multiples communs sont les multiples de leur PPCM (voir PGCD et PPCM).
- Un nombre égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même est un nombre parfait : 6 = 1 + 2 + 3.
Erreurs fréquentes
- Confondre les deux sens : « 3 est un multiple de 12 » est faux ; c’est 12 qui est un multiple de 3.
- Oublier 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.
- Dire que 0 a des diviseurs en nombre fini : 0 est divisible par tout entier non nul.
- Arrêter la recherche trop tôt ou trop tard : la limite est √n.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?
Si a = b × k, a est le multiple (le « grand ») et b le diviseur (le « petit »). Un nombre a une infinité de multiples mais un nombre fini de diviseurs.
Combien de diviseurs a un nombre premier ?
Exactement deux : 1 et lui-même. 1 n’en a qu’un, c’est pourquoi il n’est pas premier.
0 est-il un multiple de tous les nombres ?
Oui, car 0 = n × 0 pour tout n. En revanche 0 n’est diviseur d’aucun nombre.
Quel nombre inférieur à 100 a le plus de diviseurs ?
60, 72, 84, 90 et 96 en ont chacun 12, le maximum sous 100.