Sciences · Physique
Le pendule
Un pendule simple est une masse suspendue à un fil qui oscille sous l’effet de la pesanteur. Pour de petites oscillations, sa période ne dépend que de la longueur du fil : T = 2π √(L / g).
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Le balancement d’un lustre, d’une balançoire ou du balancier d’une horloge obéit à une loi d’une simplicité étonnante : le temps d’un aller-retour ne dépend ni de la masse suspendue, ni, si l’amplitude est faible, de l’écartement initial. Cette régularité a fait du pendule le premier instrument précis de mesure du temps, puis l’outil qui a démontré la rotation de la Terre.
La formule de la période
Pour de petites oscillations (moins d’une quinzaine de degrés environ) :
T = 2π × √(L / g)
avec L la longueur du fil en mètres (jusqu’au centre de la masse) et g l’intensité de la pesanteur en m/s².
| Longueur du fil | Période (g = 9,81 m/s²) |
|---|---|
| 10 cm | 0,63 s |
| 25 cm | 1,00 s |
| 99,4 cm | 2,00 s (« pendule qui bat la seconde ») |
| 4 m | 4,0 s |
| 67 m (pendule de Foucault du Panthéon) | environ 16,4 s |
Trois conséquences :
- la masse n’intervient pas : une boule de plomb et une boule de bois de même taille, suspendues au même fil, oscillent au même rythme ;
- la période croît comme la racine carrée de la longueur : pour doubler la période, il faut quadrupler la longueur ;
- elle dépend de
g: un pendule bat plus lentement sur la Lune, environ 2,5 fois plus lentement.
L’isochronisme : la découverte de Galilée
La tradition rapporte que le jeune Galilée, observant un lustre oscillant dans la cathédrale de Pise, aurait mesuré sa période avec son pouls et constaté qu’elle restait la même quand l’amplitude diminuait. Le récit, rapporté par son disciple Viviani, est peut-être embelli, mais Galilée a bien étudié et décrit cet isochronisme des petites oscillations.
Il n’est qu’approché : pour de grandes amplitudes, la période augmente légèrement. À 30°, elle est environ 1,7 % plus longue qu’aux petits angles ; à 90°, environ 18 % plus longue.
Énergie et mouvement
Le pendule échange en permanence énergie potentielle et énergie cinétique (voir énergie mécanique) :
- aux extrémités, il s’arrête un instant : énergie potentielle maximale, vitesse nulle ;
- au point le plus bas, il passe le plus vite : énergie cinétique maximale.
La vitesse au point bas vaut √(2 g h), où h est la hauteur dont la masse est descendue. Les frottements de l’air dissipent peu à peu l’énergie : l’amplitude diminue, on parle d’oscillations amorties. Pour entretenir le mouvement, il faut un apport d’énergie régulier, comme le poussoir d’une balançoire donné au bon moment, un phénomène de résonance.
Les horloges à balancier
En 1656-1657, le savant néerlandais Christiaan Huygens construit la première horloge à pendule. L’erreur des meilleures horloges passe d’environ un quart d’heure par jour à une quinzaine de secondes. En 1673, dans son traité Horologium oscillatorium, il établit la formule de la période.
Les horloges de précision ont dominé la mesure du temps jusqu’aux horloges à quartz, au XXe siècle. Les métrologues des XVIIe et XVIIIe siècles ont même envisagé de définir le mètre comme la longueur du pendule qui bat la seconde ; l’idée a été écartée parce que cette longueur varie avec la latitude.
Mesurer la pesanteur
En inversant la formule, g = 4π² L / T². Le pendule a longtemps servi à mesurer l’intensité de la pesanteur en différents points du globe. En 1672, l’astronome Jean Richer constate à Cayenne que son horloge, réglée à Paris, retarde : g y est plus faible. C’est l’un des premiers indices de l’aplatissement de la Terre et de l’effet de sa rotation (voir gravitation).
Le pendule de Foucault
En 1851, Léon Foucault suspend sous la coupole du Panthéon, à Paris, une boule de 28 kg au bout d’un fil de 67 m. Au fil des heures, le plan d’oscillation tourne lentement par rapport au sol. Le pendule, lui, garde son plan fixe par rapport aux étoiles : c’est la Terre qui tourne en dessous.
La vitesse de rotation du plan dépend de la latitude :
| Lieu | Durée d’un tour complet du plan d’oscillation |
|---|---|
| Pôle Nord ou Sud | environ 24 h (23 h 56 min) |
| Paris (latitude 48,8°) | environ 32 h |
| Équateur | pas de rotation |
C’est la première démonstration de la rotation de la Terre visible sans observer le ciel.
Les autres pendules
- Pendule pesant : un solide quelconque oscillant autour d’un axe (balancier, jambe qui marche). Sa période dépend de sa forme et de la position de son centre de gravité.
- Pendule élastique : une masse au bout d’un ressort, de période
2π √(m / k)(voir loi de Hooke) ; ici, la masse intervient. - Pendule de torsion : un disque suspendu à un fil qui se tord, utilisé par Cavendish en 1798 pour mesurer la constante de gravitation.
- Pendule double : deux pendules accrochés l’un à l’autre, exemple célèbre de mouvement chaotique.
Questions fréquentes
De quoi dépend la période d’un pendule ?
De la longueur du fil et de l’intensité de la pesanteur. Elle ne dépend pas de la masse et, pour de petites oscillations, presque pas de l’amplitude.
Quelle longueur pour un pendule qui bat la seconde ?
Environ 99,4 cm à Paris. Chaque aller ou chaque retour dure alors une seconde, soit une période complète de deux secondes.
Pourquoi un pendule finit-il par s’arrêter ?
Les frottements de l’air et au point d’attache transforment progressivement son énergie mécanique en chaleur, et l’amplitude diminue jusqu’à l’arrêt.
Que prouve le pendule de Foucault ?
Que la Terre tourne sur elle-même : le plan d’oscillation du pendule reste fixe par rapport aux étoiles, tandis que le sol tourne sous lui.