Sciences · Physique
Le mouvement circulaire
Un mouvement est circulaire quand la trajectoire est un cercle. S’il est uniforme, la vitesse garde la même valeur mais change sans cesse de direction : une accélération dirigée vers le centre est nécessaire.
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Roues, manèges, satellites, aiguilles d’une montre, électrons d’un accélérateur : les mouvements circulaires sont partout. Ils obéissent à une idée contre-intuitive que Newton a formalisée : un objet qui tourne à vitesse constante accélère en permanence, car sa vitesse change de direction. Sans une force qui le tire vers le centre, il partirait en ligne droite.
Les grandeurs du mouvement circulaire
| Grandeur | Symbole | Unité | Expression |
|---|---|---|---|
| Période (durée d’un tour) | T | s | — |
| Fréquence (tours par seconde) | f | Hz | f = 1 / T |
| Vitesse angulaire | ω | rad/s | ω = 2π / T = 2π f |
| Vitesse linéaire | v | m/s | v = ω R = 2π R / T |
| Accélération centripète | a | m/s² | a = v² / R = ω² R |
L’angle se mesure en radians : un tour complet vaut 2π rad, soit environ 6,28 rad. La conversion avec les tours par minute est fréquente en mécanique : ω (rad/s) = N (tr/min) × 2π / 60.
Vitesse angulaire et vitesse linéaire
Sur un disque qui tourne, tous les points ont la même vitesse angulaire, mais pas la même vitesse linéaire : plus un point est éloigné de l’axe, plus il parcourt de distance à chaque tour. C’est pourquoi l’extrémité d’une pale d’éolienne peut dépasser 250 km/h alors que le moyeu tourne lentement, et pourquoi les patineurs en bout de chaîne, lors d’une farandole, doivent courir très vite.
L’accélération centripète
Même si la vitesse garde la même valeur, son vecteur change à chaque instant : il tourne avec l’objet. Or toute variation du vecteur vitesse est une accélération. On montre qu’elle est dirigée vers le centre et vaut a = v² / R.
Conséquences pratiques :
- à vitesse doublée, l’accélération est quadruplée ;
- à vitesse égale, un virage serré (petit
R) exige une accélération plus forte qu’un virage large.
C’est pour cela qu’un virage pris trop vite fait sortir une voiture de la route : l’adhérence des pneus ne peut plus fournir l’accélération nécessaire.
La force centripète
D’après la deuxième loi de Newton, une accélération suppose une force : F = m v² / R, dirigée vers le centre. Ce n’est pas une force nouvelle, mais le rôle joué par une force déjà connue :
| Situation | Force qui joue le rôle de force centripète |
|---|---|
| Lune autour de la Terre | attraction gravitationnelle |
| Voiture dans un virage | frottement des pneus sur la route |
| Fronde ou balle au bout d’une ficelle | tension du fil |
| Électron dans un champ magnétique | force de Lorentz |
| Wagon de montagnes russes dans une boucle | réaction des rails et poids |
Quand la force cesse, l’objet poursuit en ligne droite, selon la tangente : c’est ce que fait la pierre lâchée par une fronde. Dans le référentiel de l’objet qui tourne, on ressent au contraire une poussée vers l’extérieur, la force centrifuge, qui est une force d’inertie.
Satellites et planètes
Une orbite circulaire est un mouvement circulaire uniforme dans lequel la gravitation fournit exactement la force centripète. En égalant G M m / R² = m v² / R, on obtient la vitesse orbitale v = √(G M / R), indépendante de la masse du satellite.
| Objet | Rayon de l’orbite | Période | Vitesse |
|---|---|---|---|
| Station spatiale internationale | environ 6 780 km | environ 92 min | environ 7,7 km/s |
| Satellite géostationnaire | 42 164 km | 23 h 56 min | environ 3,07 km/s |
| Lune | environ 384 400 km | 27,3 jours | environ 1 km/s |
Les orbites réelles sont en général des ellipses, plus ou moins proches du cercle, comme le décrivent les lois de Kepler.
Mouvement circulaire non uniforme
Si la vitesse change aussi de valeur (une roue qui démarre, un pendule), l’accélération a deux composantes : une composante tangentielle, qui fait varier la valeur de la vitesse, et la composante normale (centripète) v² / R, qui fait tourner sa direction. Le pendule en est un exemple classique.
Questions fréquentes
Pourquoi y a-t-il une accélération si la vitesse est constante ?
Parce que l’accélération mesure la variation du vecteur vitesse, pas seulement de sa valeur. Dans un virage, la direction de la vitesse change en permanence : il y a donc une accélération, orientée vers le centre.
Quelle est la différence entre force centripète et force centrifuge ?
La force centripète est une force réelle (tension, gravité, frottement) dirigée vers le centre, qui courbe la trajectoire. La force centrifuge est une force fictive, ressentie seulement dans le référentiel qui tourne, dirigée vers l’extérieur.
Comment passer des tours par minute aux radians par seconde ?
On multiplie par 2π puis on divise par 60. Un moteur qui tourne à 3 000 tr/min a une vitesse angulaire d’environ 314 rad/s.
Pourquoi les routes sont-elles relevées dans les virages ?
L’inclinaison (le dévers) permet à la réaction de la route de fournir une partie de la force centripète, ce qui réduit l’effort demandé à l’adhérence des pneus. Les pistes de vélodrome poussent ce principe à l’extrême.