Le principe de Bernoulli

Soufflez entre deux feuilles de papier suspendues côte à côte : elles ne s’écartent pas, elles se rapprochent. Un rideau de douche se colle à vos jambes quand l’eau coule. Deux bateaux qui naviguent parallèlement et de près tendent à se rapprocher dangereusement. Ces phénomènes surprenants relèvent du même principe : dans un fluide en mouvement, là où la vitesse augmente, la pression baisse.

Ce que dit l’équation

Les trois termes de l’équation sont des énergies par unité de volume :

Leur somme se conserve : c’est l’équivalent pour un fluide de la conservation de l'énergie mécanique. Si le fluide accélère sans changer d’altitude, sa pression doit diminuer ; s’il ralentit, elle augmente.

Daniel Bernoulli, physicien et mathématicien suisse, énonce ce résultat dans son ouvrage Hydrodynamica en 1738. Leonhard Euler en donne peu après la forme mathématique moderne.

L’effet Venturi

Dans un tuyau qui se rétrécit, le débit reste constant : le fluide doit accélérer dans la partie étroite (voir mécanique des fluides). D’après Bernoulli, sa pression y est donc plus faible. C’est l'effet Venturi, du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi, qui l’a étudié à la fin du XVIIIe siècle.

Applications :

• le carburateur des anciens moteurs aspirait l’essence grâce à la dépression créée dans un étranglement ;
• les trompes à eau des laboratoires créent un vide partiel en faisant passer un jet d’eau rapide ;
• les vaporisateurs et pistolets à peinture aspirent le liquide dans le flux d’air rapide ;
• le débitmètre de Venturi mesure un débit à partir de la différence de pression entre deux sections.

Le tube de Pitot : mesurer la vitesse d’un avion

Un tube de Pitot, orienté face à l’écoulement, mesure la pression totale (où l’air est arrêté) et la compare à la pression statique. La différence vaut ½ ρ v² et donne directement la vitesse de l’avion par rapport à l’air. Ces sondes sont visibles à l’avant de tous les avions ; leur givrage peut fausser les indications de vitesse.

La vidange d’un réservoir : la loi de Torricelli

Pour un réservoir ouvert percé à une profondeur h sous la surface, Bernoulli donne la vitesse de sortie du jet : v = √(2 g h), la même que celle d’un objet tombé de la hauteur h. Ce résultat, établi par Torricelli dès 1643, explique pourquoi un jet sort plus vite d’un trou percé en bas d’une bouteille qu’en haut.

Bernoulli et le vol des avions

On lit souvent que l’aile vole « parce que l’air va plus vite au-dessus qu’en dessous, car il a plus de chemin à parcourir pour rejoindre l’air du dessous au bord de fuite ». Cette explication dite du temps de transit égal est fausse : rien n’oblige deux particules séparées au bord d’attaque à se retrouver au bord de fuite. En réalité, l’air passant au-dessus arrive même nettement avant.

Ce qui est vrai :

• l’air s’écoule effectivement plus vite sur l’extrados (dessus) que sur l’intrados (dessous), et la pression y est plus faible : la différence de pression, que Bernoulli permet de relier aux vitesses, produit la portance ;
• de manière équivalente, l’aile dévie l’air vers le bas ; par la troisième loi de Newton, l’air pousse l’aile vers le haut ;
• les deux descriptions sont compatibles : ce sont deux façons de décrire le même écoulement. L’angle d’attaque et la forme du profil déterminent la portance.

Une aile plate et inclinée vole, et les avions de voltige volent sur le dos : la courbure du profil n’est pas indispensable.

Les balles à effet

Une balle qui tourne sur elle-même entraîne l’air autour d’elle et dévie l’écoulement d’un côté. Il en résulte une force perpendiculaire à sa trajectoire : c’est l'effet Magnus. Il explique les coups francs enroulés au football, les balles liftées au tennis et les effets au tennis de table. On le relie souvent à Bernoulli, mais il fait aussi intervenir la viscosité de l’air.

Les limites du principe

L’équation de Bernoulli suppose un fluide idéal. Elle doit être corrigée ou ne s’applique pas :

• en présence de viscosité importante, qui dissipe de l’énergie (voir viscosité) : il faut ajouter des pertes de charge ;
• pour les gaz à grande vitesse, au-delà d’environ un tiers de la vitesse du son, où la compressibilité compte ;
• dans les écoulements turbulents ou non permanents ;
• entre deux lignes de courant différentes, sauf si l’écoulement est irrotationnel.

Elle ne dit pas non plus qu’un flux rapide « aspire » tout ce qui est autour : la baisse de pression n’existe que si le fluide est réellement accéléré par la géométrie de l’écoulement.

Phénomènes du quotidien

Questions fréquentes

Que dit le principe de Bernoulli en une phrase ?

Dans un fluide en écoulement, la somme de la pression, de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle par unité de volume reste constante : quand la vitesse augmente, la pression diminue.

Le principe de Bernoulli explique-t-il le vol des avions ?

En partie. La différence de pression entre le dessus et le dessous de l’aile est liée aux vitesses par Bernoulli, mais la raison pour laquelle l’air va plus vite au-dessus tient à la déviation de l’écoulement par l’aile, et non au mythe du « chemin plus long ».

Qu’est-ce que l’effet Venturi ?

C’est la baisse de pression d’un fluide qui accélère en traversant un rétrécissement. Il sert à aspirer des liquides, à créer du vide ou à mesurer des débits.

Pourquoi deux bateaux côte à côte se rapprochent-ils ?

L’eau qui s’écoule entre leurs coques est accélérée et sa pression baisse ; la pression plus élevée du côté extérieur pousse les bateaux l’un vers l’autre.