Loi des mailles

La loi des mailles est la seconde loi fondamentale des circuits, après la loi des nœuds. Elle porte sur les tensions et non sur les intensités. Au collège, elle apparaît sous la forme de la loi d’additivité des tensions dans un circuit en série et de la loi d’égalité des tensions en dérivation. Au lycée, on l’écrit sous sa forme générale, aussi appelée deuxième loi de Kirchhoff.

Énoncé

Dans un circuit en série comportant un générateur de tension U_G et deux récepteurs de tensions U₁ et U₂, elle donne :

U_G = U₁ + U₂

Pourquoi cette loi est vraie

Une tension est une différence de potentiel entre deux points : U_AB = V_A − V_B. En faisant le tour d’une maille, on revient au point de départ, donc au même potentiel. Les différences successives s’annulent forcément : (V_A − V_B) + (V_B − V_C) + (V_C − V_A) = 0. L’analogie de la randonnée en montagne est parlante : après une boucle, la somme des montées et des descentes est nulle, puisqu’on revient à la même altitude. Voir aussi tension électrique.

Méthode pour l’appliquer

1. Choisir une maille et un sens de parcours (horaire, par exemple).
2. Représenter chaque tension par une flèche. Convention habituelle : pour un générateur, la flèche pointe vers la borne + ; pour un récepteur, elle est dessinée en sens inverse du courant (convention récepteur).
3. Parcourir la maille : compter +U quand la flèche est dans le sens du parcours, −U quand elle est en sens inverse.
4. Écrire la somme égale à zéro et résoudre.

Ce que la loi des mailles explique

• En série, la tension du générateur se répartit entre les récepteurs. Deux lampes identiques en série reçoivent chacune la moitié de la tension.
• En dérivation, deux dipôles branchés entre les mêmes nœuds forment une maille à eux deux : leurs tensions sont égales.
• Un interrupteur fermé ou un fil a une tension nulle à ses bornes. Un interrupteur ouvert, en revanche, a à ses bornes toute la tension du générateur (dans un circuit série simple), puisque les récepteurs, sans courant, ont une tension nulle.

Combinée à la loi d’Ohm (U = R × I) et à la loi des nœuds, la loi des mailles permet de calculer toutes les tensions et intensités d’un circuit, quel que soit son nombre de branches.

Expérience classique

Matériel : une alimentation de 6 V ou une pile de 4,5 V, deux lampes différentes en série, un multimètre en position voltmètre (V continu), des fils.

1. Brancher le voltmètre en dérivation aux bornes de la pile (COM côté −, V côté +) : relever U_G.
2. Le brancher aux bornes de la lampe L₁, puis de L₂ : relever U₁ et U₂.
3. Comparer U_G et U₁ + U₂.

Résultats typiques : U_G = 4,52 V, U₁ = 2,91 V, U₂ = 1,60 V ; 2,91 + 1,60 = 4,51 V, égal à U_G aux incertitudes près.

Si le voltmètre affiche une valeur négative, il est simplement branché à l’envers : la valeur absolue est juste.

Erreurs fréquentes

• Oublier les signes : dans une maille complexe, une flèche dans le sens contraire du parcours compte négativement.
• Additionner les tensions de dipôles en dérivation : en dérivation, les tensions sont égales, elles ne s’ajoutent pas.
• Penser qu’un interrupteur ouvert n’a pas de tension : c’est l’inverse, il récupère la tension du générateur.
• Confondre tension et intensité : la loi des mailles porte sur les volts, la loi des nœuds sur les ampères.

Exercice corrigé

Énoncé. Un générateur de 24 V alimente trois résistances en série : R₁ = 100 Ω, R₂ = 200 Ω, R₃ = 300 Ω. 1) Calculer l’intensité du courant. 2) Calculer la tension aux bornes de chaque résistance. 3) Vérifier la loi des mailles.

Corrigé.

1. Résistance totale : 100 + 200 + 300 = 600 Ω. I = 24 / 600 = 0,040 A, soit 40 mA.
2. U₁ = 100 × 0,040 = 4 V ; U₂ = 200 × 0,040 = 8 V ; U₃ = 300 × 0,040 = 12 V.
3. 4 + 8 + 12 = 24 V : la somme est bien égale à la tension du générateur.

Questions fréquentes

La loi des mailles fonctionne-t-elle avec plusieurs générateurs ?

Oui. On compte chaque générateur avec son signe selon le sens de parcours. Deux piles de 1,5 V en série dans le même sens donnent 3 V ; montées tête-bêche, leurs tensions se soustraient.

Que signifie « somme algébrique » ?

C’est une somme où chaque terme porte un signe, positif ou négatif, selon son orientation. Elle s’oppose à la somme des valeurs absolues.

La loi des mailles est-elle toujours exacte ?

Elle est exacte tant que le circuit n’est pas soumis à un champ magnétique variable important. Dans les circuits du lycée, en continu comme en basse fréquence, elle s’applique sans restriction.